Ciao, oggi vedremo che ci sono infiniti più grandi di altri. Lo dimostreremo e vedremo come funzionano questi infiniti. Ecco la dimostrazione... Beh, no, iniziamo con qualcosa di più facile.
Cosa succede se ho un insieme infinito di mele e un insieme infinito di pere? Posso creare le coppie e sembra che non rimanga nulla... ma nel caso degli insiemi infiniti, le cose non sono così ovvie perché se creo le coppie in questo modo, rimane una mela... e se creo le coppie in quest'altro modo, rimane una pera... E quindi, cosa posso dire su questi insiemi? Diamo la definizione ufficiale...
Se abbiamo due insiemi A e B, diciamo che hanno lo stesso numero di elementi o la stessa cardinalità se esiste una corrispondenza biunivoca tra questi due insiemi... E scriviamo che la cardinalità di A (con A tra le barre) è la stessa di quella di B. Non sappiamo ancora cosa sia la cardinalità, ma sappiamo dire quando due insiemi hanno la stessa cardinalità...
Vediamo alcuni esempi famosi... Se ho l'insieme dei numeri naturali, posso scegliere il sottoinsieme dei numeri pari e posso creare una corrispondenza biunivoca tra questi due insiemi e dimostrare in questo modo che questi insiemi hanno la stessa cardinalità, lo stesso numero di elementi...
La cardinalità dell'insieme dei numeri naturali si chiama Aleph con 0. Vediamo come funziona l'aritmetica con Aleph con 0. Se considero i numeri pari e i numeri dispari, ho due insiemi con cardinalità Aleph con 0. Ma l'unione di questi due insiemi ci dà tutti i numeri naturali, quindi Aleph_0 + Aleph_0 dà di nuovo Aleph_0.
E possiamo ripetere questa idea per ottenere un risultato ancora più sorprendente: posso selezionare i pari e tra questi i numeri divisibili per 4, e tra questi i numeri divisibili per 8, e tra questi i numeri divisibili per 16, ... in questo modo scompongo l'insieme dei numeri naturali in infiniti insiemi con cardinalità Aleph con 0. A parte il numero 0, che si perde nell'infinito perché è divisibile infinite volte per 2. E così dimostriamo che Aleph_0 per Aleph_0 dà di nuovo Aleph_0.
E quindi ci chiediamo, esistono insiemi che hanno cardinalità più grande di Aleph_0? Che hanno più elementi dei numeri naturali? E la risposta è incredibilmente sì... ma per vederlo dobbiamo introdurre un concetto nuovo... il concetto di frullato... sì... lascia che ti spieghi...
Immagina di essere in spiaggia e c'è un chiosco che vende frullati... ha 4 tipi di frutta... ha fragole, ciliegie, banane e mele. I clienti possono scegliere quali frutti vogliono nel frullato... Quanti tipi di frullati può vendere il chiosco?
Cosa succede ora se consideriamo sequenze infinite di uni e zeri... come se avessimo infiniti tipi di frutta da scegliere nel nostro frullato... Quanti sono i tipi di frullati che possiamo fare... Attenzione perché ora arriva la sorpresa...
Immaginiamo che le sequenze infinite di uni e zeri siano la stessa quantità dei numeri naturali... Giusto! Cioè, abbiamo una corrispondenza biunivoca tra le sequenze infinite e i numeri naturali...
Costruiamo una nuova sequenza che non sarà presente in questa lista infinita... considera la sequenza in diagonale... questa... ora, copiala e cambia ogni 0 in 1 e ogni 1 in 0... Così.
Ora... questa sequenza non può essere uguale alla sequenza numero 1 perché ha un 1 al posto dello zero nella posizione 1 (contando da 0)...
...
Questo significa che in qualche modo questa sequenza è sfuggita alla lista... Ma aspetta, perché questo è solo l'inizio della follia...
Ti dimostrerò che omega è minore di P(omega) in un modo che funziona per tutti gli insiemi...
Iniziamo con l'insieme dei numeri naturali...
Se facciamo la sua potenza otteniamo un infinito più grande...
E possiamo continuare a fare la potenza per ottenere insiemi con cardinalità sempre più grande... ma attenzione!!!
Quando dopo aleph_0 volte abbiamo terminato il processo... possiamo fare l'unione di tutti questi insiemi e otterremo un insieme la cui cardinalità è maggiore di tutte le precedenti... e avremo un infinito più grande... e avremo un processo di processi e processi e infiniti infiniti di famiglie di infiniti sempre più grandi...
[Inserisci Buzz Lightyear]
Codice Python di Mirek su cui si basa una parte delle animazioni di questo video: github.com/mkoconnor
Musica:
Jul di Scott Buckley | www.scottbuckley.com.au
Musica promossa da www.chosic.com/free-music/all/
Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0)
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Негізгі бет Assioma 8: La Potenza degli Infiniti sempre Più Grandi
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