Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: Phương pháp biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu một số không âm với một hằng số
Ý tưởng chính:
Phương pháp này giúp chúng ta đơn giản hóa việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức bằng cách đưa biểu thức đó về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm và một hằng số.
Tại sao lại làm như vậy?
Số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng 0: Điều này giúp chúng ta dễ dàng xác định được giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Hằng số không thay đổi: Hằng số sẽ quyết định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất mà biểu thức có thể đạt được.
Các bước thực hiện:
Biến đổi biểu thức:
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ (ví dụ: (a+b)^2 =a^2 +2ab+b^2 )
Nhóm các hạng tử thích hợp
Thêm bớt các số hạng để tạo thành bình phương hoàn hảo
Xác định phần không âm: Phần không âm thường là một bình phương hoặc một giá trị tuyệt đối (vì chúng luôn lớn hơn hoặc bằng 0).
Suy ra GTLN hoặc GTNN:
GTLN: Nếu biểu thức được viết dưới dạng A+B với A luôn không âm, thì GTLN của biểu thức là B và đạt được khi A=0.
GTNN: Tương tự, nếu biểu thức được viết dưới dạng A+B với A luôn không âm, thì GTNN của biểu thức là B và đạt được khi A=0.
Ví dụ:
Tìm GTNN của biểu thức A=x^2 −4x+5
Bước 1: Biến đổi: A=(x^2 −4x+4)+1=(x−2)^2 +1
Bước 2: Nhận thấy (x−2)^2 ≥0 với mọi x.
Bước 3: Suy ra A≥1
Kết luận: GTNN của A là 1, đạt được khi x = 2.
Bài tập áp dụng:
Tìm GTNN của B=x^2 +y^2 −6x+2y+10
Tìm GTLN của C=−x^2 −4x+1
Lưu ý:
Dấu bằng xảy ra khi nào: Dấu bằng xảy ra khi phần không âm bằng 0.
Các dạng bài tập: Có thể gặp các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn, giá trị tuyệt đối, phân thức,...
Phương pháp khác: Ngoài phương pháp này, còn có các phương pháp khác như sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, đạo hàm (đối với hàm số).
Ví dụ nâng cao:
Tìm GTNN của D= x^2 −4x+5
Giải:
Ta đã chứng minh được x^2 −4x+5≥1.
Do đó, x^2 −4x+5 ≥ 1 =1.
Vậy GTNN của D là 1, đạt được khi x = 2.
Tổng kết:
Phương pháp biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm và một hằng số là một kỹ thuật hữu ích để giải quyết các bài toán tìm GTLN, GTNN. Bằng cách làm quen và thành thạo phương pháp này, bạn sẽ giải quyết được nhiều bài toán phức tạp hơn.
Bạn có muốn giải thêm các bài tập khác không?
Các khái niệm liên quan:
Bình phương hoàn hảo: Một đa thức có thể viết dưới dạng bình phương của một đa thức khác.
Hằng đẳng thức đáng nhớ: Các công thức biến đổi thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử.
Giá trị tuyệt đối: Khoảng cách từ một số đến số 0 trên trục số.
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Một bất đẳng thức quan trọng trong toán học.
Các ứng dụng:
Tối ưu hóa: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng trong các bài toán thực tế.
Giải phương trình, bất phương trình: Biến đổi biểu thức để đưa về dạng dễ giải.
Chứng minh bất đẳng thức: Sử dụng các kỹ thuật biến đổi để chứng minh các bất đẳng thức.
Hy vọng với những thông tin trên, bạn sẽ hiểu rõ hơn về phương pháp này và áp dụng thành công vào việc giải các bài toán tìm GTLN, GTNN.
#toan9onthivaolop10 #toan9 #toan9len10
giá trị lớn nhất,toán lớp 9,tìm giá trị lớn nhất của biểu thức,giá trị lớn nhất lớp 9,Dạng toán tìm min,max,giá trị lớn nhất nhỏ nhất,ôn thi vào 10,bất đẳng thức,Phương pháp biến đổi biểu biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với một hằng số
Негізгі бет #Toan9
Пікірлер