Красиво! Вообще люблю именно геометрические решения. Но сегодня я пошел путем выяснения отношения сторон квадратов и алгебраически доказал, что сторона большого квадрата в два раза больше стороны малого довольно легко. Обозначив половину большого квадрата за х, а сторону малого за у из треугольника АВО по теореме Пифагора получаем, что квадрат радиуса равен 5х². Из треугольника ОNК квадрат радиуса равен (х+у)²+у². Приравняв выражения квадратов радиусов получаем 2у²+2ху+х²=5х². Упростив получаем у²+ху-2х²=0. Решая уравнение относительно у получаем что у=х и посторонний корень у=-2х.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@Olga-fv6jy
4 ай бұрын
Красивое решение! А я не догадалась! Решала по теореме Пифагора. AB=AD=2x, DK=KN=y. R^2=AB^2+AO^2=OK^2+KN^2; 4x^2+x^2=(x+y)^2+y^2; 2x^2-xy-y^2=0; x=y. ∆AOB=∆KON. ∠ABO=∠KON; ∠AOB+∠KON=90°. ∠BON=90°.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
@AlexeyEvpalov
4 ай бұрын
Простое доказательство. Спасибо.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
@alexnikola7520
4 ай бұрын
блин, так и знал что будут казаковские достройки( честно скажу - два дня мудохался - так и не решил... потом все-таки алгебраическими чудесами доказал... чуть с ума не сошел... даже стыдно рассказывать как... ай, крч... а сейчас решил посмотреть... виртуозно, что сказать
@pojuellavid
4 ай бұрын
Не нашел ничего лучшего, чем достроить до круга и начертить в каждом из четырех полукругов по квадрату (один уже готов). Откуда сторона ДМNK (МК) в два раза меньше стороны АВСД (АД). Получим равенство треугольников АВО и ОNK. Ответ:90° _______ Только щас увидел, что в моей конструкции ВО и ОN суть половинки взаимно перпендикулярных диаметров. А посему не нужны ни соотношения квадратов, ни подобие треугольников
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Правлиьно.
@ХанифАбдуллин-у9ь
4 ай бұрын
Можно решить и так: Пусть R=1, Пусть ОД=а, тогда СД=2а, по Пифагору: ОС2=ОД2+СД2, или, 1=а2+4а2, отсюда а✓5/5 или ОД=√5/5, СД=2√5/5 Пусть ДК=Х, по Пифагору ОN2=OK2+NK2 или 1=(√5/5+Х)2+Х2, отсюда получаем: 2Х2+2√5/5Х-4/5=0 , находим корни Х=√5/5 или а=X Значит треугольники ОNK и СОД равны, Сумма углов NOK и СОД равна 90 градусов, Отсюда угол альфа, BON, так же равен 90 градусам!
@valeraag5634
4 ай бұрын
Доказательство NK = 1/2 CД. Продолжим ДК за т.К так, что ДТ = СД , соединим т. Р с точками С и Т отрезками РС и РТ. Треугольники РДС и РДТ равны по 1 признаку (СД = ДТ, РД - общая, углы между равными прямыми - 135 градусов). Отсюда РТ = РС,
@КссКсс-у1л
4 ай бұрын
Здорово! Но много лишнего (избыточного). Без обид. Лишнее убрать - можно уложиться в 4÷5 строк. И будет красота. Всего доброго.
@valeraag5634
4 ай бұрын
@@КссКсс-у1л Что интересно, я таки уложился в 5 строк ( у меня крупность шрифта 90%). Но по сути, строго доказать NK = 1/2 СД действительно непросто. И если убрать, как вы считаете, лишнее (избыточное), то доказательство не вполне строгое, то есть вполне неточное. Когда я провёл отрезок СТ, для меня было очевидно, что он проходит через т. N. Однако доказательство есть доказательство, пришлось потратить "лишнюю" добрую половину строчек.
@КссКсс-у1л
4 ай бұрын
@valeraag5634 Вы большой молодец. Очень рада за Вас. Под "лишним" я имела ввиду точку Т (и всё, что с ней связано). Достаточно на авторском рисунке дополнительно провести CN и CP (и для "густоты мысли" можно ещё BD - с ней решение будет немного "изящней" и не такое "сухое"). Этого, по моему мнению, вполне достаточно. Доказательство будет строгое. И очень простое. Можете попробовать. Думаю, у Вас получится (посмотрите на углы: CNP, DNM и CNM). Хотя, конечно, все знают - всё просто когда уже решил или когда заранее знаешь решение. С уважением, ЛП. PS. А "алгебраическо-геометрическое" решение вообще занимает 2 строки: пусть CD=DF=a, MN=DM=b, тогда (a)(a)=(⎷2a)(⎷2b) ➡ a=2b. Всё.
@valeraag5634
4 ай бұрын
@@КссКсс-у1л Киса, о чём мы спорим?! Да, теорема "О пересекающихся хордах" доказывает мгновенно NK = 1/2 СД. Я бы даже сказал, что это чисто геометрическое решение. Мы берём геометрическую теорему, подставляем значение отрезков хорд и получаем результат. Этак и любое применение т. Пифагора сделает решение алгебраическим. Вообще Валерий Владимирович настроил на сложное доказательство, мол. очень трудно доказать, что зелёный квадрат в 2 раза меньше розового (по линейным размерам). Так что это Вы большой молодец, а не я. Если б я носил шляпу, то снял бы её, а так просто скажу Вам: спасибо!
@КссКсс-у1л
4 ай бұрын
@@valeraag5634 И Вам спасибо. И зовут меня Любовь Петровна. Ксс - это комп моих знакомых.
@Валерия-ы8х5р
4 ай бұрын
Красиво!
@ВерцинГеториг-ч5ь
4 ай бұрын
АВ=ВС=СД=АД=а ,ДМ=МN=NК=ДК=в , R=ВО=ОN . Из тр-ка АВО - R*2=а*2+(а/2)*2=5а*2/4 , Из тр-ка ОNК - R*2=(а/2+в)*2+в*2 , подставляем в уравнение R*2=5а*2/4 , 5а*2/4=а*2/4+ав+в*2+в*2 , после преобразования получаем уравнение : а*2-ав-2в*2=0 , делим уравнение на в*2 , (а/в)*2-(а/в)-2=0 , вводим переменную (а/в)=р , р*2 - р - 2=0 , р12=1/2+-\/(1/4+2) = 1/2+-3/2 , р=1/2+3/2=2 . Второе значения корня отрицательное , не может удовлетворять условию задачи . р=а/в=2 , в=а/2 .
@SB-7423
4 ай бұрын
Обозначим : АВ = ВС = 2а, угловой коэффициент прямой ON: k(ON) = m . По т. Пифагора R^2 = 5∙(a^2) Уравнение прямой ON : y = m∙x . Координаты точки пересечения прямой и окружности : х(N) = a∙(√5)/√(1 + m^2), y(N) = m∙ a∙(√5)/√(1 + m^2). x(N) - a = y(N). Подставляя, получим квадратное уравнение : 2∙(m^2) - 5∙m + 2 = 0 ⟹ m = 1/2. Угловой коэффициент ВО : к(ВО) = -2 . k(ON)∙к(ВО) = - 1 ⟹ α = 90° !
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
ОТЛИЧНО.
@user-Alexander-1950-Ufa
4 ай бұрын
Докажем, что второй квадрат в 2 раза меньше. Отразим бОльший квадрат вниз от горизонтали (AD). И полуокружность - тоже. Через точку (D) - хорда (CF) - готова. Меньший квадрат, диагональ (DN), и бОльший - (DP) - вторая хорда, т.к. (Поворот одной диагонали вокруг (D) до другой) = 45+90+45. Сторона (CD)=2, (PD)=2*sqrt(2). Равенство произведений отрезков хорд: 2*2=(2*sqrt(2))*(DN), (DN)=sqrt(2)=(PD)/2. Тогда и сторона в 2 раза меньше. Или вычисляем площадь бОльшего, это (диагональ)*(диаг./2), откуда (DN)=(PD)/2.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Отлично.
@RescueMe-o7j
4 ай бұрын
из точки О перпендикуляр вверх. ещё ОС соединить. квадраты как 1к2 соотносятся, доказать равенство ещё углов. там получится уголки равны как при диагонали прямоуг. 1к2. а угол nok окажется равным тому который нарисовать вверх. и по сумме 90
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@AndrewP-x9n
4 ай бұрын
Доброе утро. Спасибо за коасивое начало дня
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
@ПопурриРукоделиеОбучениеУкраше
4 ай бұрын
Совместить радиусыАВ и ОN, прямой угол заставитьNK поBC, образуется прямоугольник АВКО, а NE равно АО. Угол 90.градусов.
@vkr122
4 ай бұрын
Очевидно , что так и будет , но надо доказать почему NK бдет на ВС, Нету признака равенства треугольников по одной только гипотенузе.
@Snuryus
4 ай бұрын
А если сразу нарисовать треугольник равный АВО, таким образом, чтобы его длинный катет лежал на диаметре. А потом уже доказать что он совпадает с ОКN? Например проведя в этом новом треугольнике медиану, которая отсечет равнобедренный прямоугольный треугольник с углами по 45 градусов и будет совпадать с диагональю зеленого квадрата.
@TTSymon
4 ай бұрын
Если продлить отрезок NO до пересечения с окружностью в точке (назовем ее точкой) М. а прямую BO продлить до точки F, мы получим четырехугольник BNFM. Поскольку вершины четырехугольника опираются на диаметры описанной окружности, то все они равны 90 град, следовательно - это прямоугольник. Причем точка O - это точка пересечения диагоналей прямоугольника BNFM и делит их пополам. следовательно, прямоугольник BNFM - это квадрат. у квадрада диагонали пересекаются под углом 90 градусов - значит искомый угол - 90 градусов.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Супер.
@user-Alexander-1950-Ufa
4 ай бұрын
Прямоугольник BNFM - это да, равенство диагоналей и делятся пересечением пополам - радиусы. А вот их угол 90 - это явно не видно. Это-то и требуется доказать..
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
@@user-Alexander-1950-Ufa Диагональ нижнего и диагональ правого малого квадратов лежат на одной прямой. Это мы и доказали в решении: 45+45+90. Больше ничего доказывать не нужно.
@GSGS-iz8bg
4 ай бұрын
Повернуть всю конструкцию по часовой стрелке на 90° вокруг точки О, и тогда маленький квадрат будет вырезан из большого (и будет его четвертушкой), причем со стороной вдвое меньше, и искомый угол будет углом поворота, т.е. 90°.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Да, поворот - это один изс способов. Спасибо.
@GSGS-iz8bg
4 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Можно и более наглядно: наложить на исходную картинку её повороты на 90°, 180°, и 270°. Получится великолепная симметричная "крестовина", в круг вписанная, и эта симметрия и есть ответ.
@Наш-т2б
4 ай бұрын
Вписать большой квадрат в полукруг можно единственным способом: центр полуокружности будет делить сторону квадрата пополам, а укол между точками касания квадрата и окружности и центром окружности 45°. В любом другом случае получается не квадрат. Можно мысленно разделить большой квадрат на четыре равных квадрата для наглядности, из этого однозначно следует, что сторона малого квадрата в два раза меньше стороны большого квадрата (как доказательство от противного).
@user-Alexander-1950-Ufa
4 ай бұрын
Когда вычисляем алгеброй точку (N), получаем второй корень уравнения - меньше 0. А в чём смысл (-)? Система координат: (Zero)=(O), (OD)=1, (ON)=R=sqrt(5), (DK)=a=(KN). По Пифагору, (ON)^2=(OK)^2+(KN)^2, .sqrt(5)^2 = (1+a)^2 + a^2, a1= -2, a2 = 1. При (a2 = 1), без затей получаем точку (N). Это от точки (D) - движение вправо на 1, и вверх - на 1. При (a1= -2) - движение от (D) влево на 2, это точка (A). И на столько же - вниз, ведь (DK)=a=(KN). Приходим в точку (P). Таким образом, второе решение - это розовый квадрат, отражённый вниз. Это есть условие уравнения (ON)^2=(OP)^2=R^2
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
СПАСИБО. СУПЕР.
@ketibarkava8424
4 ай бұрын
Красивое решение самое короткое ,Я не догадалась.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
@ИгорьТ-п2д
4 ай бұрын
Очень красиво!
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@КссКсс-у1л
4 ай бұрын
Ну, вот. Опять мой коммент пропал. Жаль. Такой классный был коммент. Ну, и бог с ним. Значит так надо было ...
@valeraag5634
4 ай бұрын
У меня Ваши коменты все целы.
@КссКсс-у1л
4 ай бұрын
@@valeraag5634 Спасибо. Интересно. А кто же тогда мой коммент "снёс"? Неужели сама (вот же растяпа)? Или всё же комп "глюкнул"? Надеюсь, ничего криминального там не написала. Ну, а Вам то он чем нибудь помог (ведь второпях написала его в тезисной форме)? Но, думаю, Вы и без него сами всё знали. ЛП.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Я не удаляю точно. Это что-то у вас. Заведите ТМП вордовский файл и копируйте туда хорошие комменты (длинные). Если вдруг пропадет - восстановите.
@SS_Serge
4 ай бұрын
Столько способов это решить. Всегда думал, что главное научится решать треугольники
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Век живи!
@SS_Serge
4 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov век учись
@МалыхинДмитрий-й5л
4 ай бұрын
С левого верхнего угла большого квадрата впишем квадрат со стороной в два раза меньшей -- совпадают одна из вершим и попарно по две стороны. Существуют все условия, чтобы малые квадраты совпали при повороте достроенной конструкции на 90 грд. по часовой стрелке.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@YardenVokerol
4 ай бұрын
Очень красиво, спасибо! Пусть сторона большого квадрата =a, малого=b, радиус=R. Из ∆OAB по Пифагору, a²+(a/2)²=R² ①, Из ∆NKO аналогично b²+(a/2+b)²=R² ②. Подставив в ② b=a/2, получим (a/2)²+a²=R², что тождественно ①. Доказано, что предположение b=a/2 верно,⇰ ∆OAB≅∆NKO. Далее по тексту)) Сумма углов =90°, α=180°-90°=90°
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
@ВячеславКургин
4 ай бұрын
С наскока решил точно также, подставив b=a/2 в уравнение ②. Однако возникло сомнение в единственности данного решения, которую либо надо доказать, либо решить систему из ① и ② по-честному. Выбрал решение системы и, отбросив отрицаетльный корень, пришёл к тому, что b=a/2 -- единственное решение.
@user-Alexander-1950-Ufa
4 ай бұрын
@@ВячеславКургин Смысл отрицательного корня - я показал. Можно смотреть..
@СергейКовалев-т1д6м
4 ай бұрын
Надо дорисовать картинку до полного креста, вписанного в окружность. Сразу будет видна симметрия, откуда получаем прямой угол между диагоналями креста.
@adept7474
4 ай бұрын
Прямой угол между диагоналями креста будет в том случае, если ВN - сторона вписанного КВАДРАТА, но нужно доказать , что он - не ПР-К!
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Да, если взять не диаметр - просто хорду и вписать два квадратика, то все будет уже не так.
@viktorsd8301
4 ай бұрын
4²15°√4⊥∠45⁰ ½∠▲²∆αβγ способ ужасный - нам совершенно не важно, какие размеры окружности и квадратов, просто в полукруг можно вписать только один квадрат АВСД. А что второй, малый? Для понимания его мы сперва соединив ВД получаем диагональ большого квадрата под ∠45⁰, а соединив ДN мы получаем диагональ малого под ∠45⁰. Теперь продолжим полукруг еще на четверть по часовой стрелке донизу, и в уже правый получившийся полукруг снова впишем точно такой же большой квадрат. По ранее проведенным диагоналям видно, что малый квадрат есть ровно полоаинка от половинки большого, это важно. А вот теперь возвращаемся к картинке Валерия - ВО есть гипотенуза треугольника с отношением катетов 1 : 2, с неким углом к вертикали, точно также, как и линия ОN есть гипотенуза катетов с отношением 1 : 2 с тем же углом уже к горизонтали.Значит - ∠α - прямой.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо. Способ отличный, сочетание поворота данного большого квадрата вправо на 90 и наложение двух уже квадратовв области малого общего.
@AndranikAdamyan-f3b
4 ай бұрын
Пойдем излюбленным маэстро путем. Проведем ОN1 перпендикулярно к ВО. Легко доказывается, что N1 равноудалена от СD и AD. Значит N и N1 совпадают.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
О-о!
@WalerijSchmidt-g4d
4 ай бұрын
Проведем полную окружности достроим 3 зеленых и один красный квадратики , соединим вершины зеленых квадратиков и две т. На окружности по оси y , получим чертеж шестигранной гайки , и угол @ =90 .
@adept7474
4 ай бұрын
Гайка получилась кривая ("слизанная"), т. к. ▲ВОС - неравносторонний!
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Отлично.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Да, уж.
@WalerijSchmidt-g4d
4 ай бұрын
Честно сказать , сам не ожидал получить чертеж гайки . Спасибо за Ваши интересные задачи .
@vkr122
4 ай бұрын
Можно не сложно жоказать : Сторона большого квадрата =а, маленького=х, продлим MN до пересечения с окружностю в точке Х тогда по т. о пересекающихся хордах MN*MX=CM*MF, х*(а+х)= (а-х)(а+х) ,х=а-х чтд!
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Да, алгеброй именно так и доказывается. Спасибо.
@oe669
4 ай бұрын
откуда вы узнали что ON это радиус?В условиях такого не написано.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Одна бабушка шепнула!
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Отрезок, соед. центр с точкой на окружности, - это радиус, братан!
@ОлегКозловский-о8е
4 ай бұрын
"Клетчатый" ответ 90.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Отл.
@man_from_stalingrad
4 ай бұрын
Почему прямая PD пересечёт окружность в точке N? Это нужно доказать!
@user-Alexander-1950-Ufa
4 ай бұрын
Потому, что поворот (DN) вокруг (D) до (DP) - составит 45+90+45=180, в любую сторону. И отсюда - доказательство, что меньший квадрат - в 2 раза меньше бОльшего. Две хорды через (D): (CF) & (PN). (CD)=(DF)=2, (PD)=2*sqrt(2). (CD)*(DF)=(PD)*(DN). 2*2=(2*sqrt(2))*(DN), (DN)=sqrt(2)=(PD)/2. Что требовалось..
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Я именно это и доказал: диагонали двух квадратов лежат на одной прямой!
Пікірлер: 79