In diesem Video betrachten wir die Bewegung eines Fadenpendels und leiten die Differentialgleichung her. Diese lässt sich im Allgemeinen nicht mehr mit den Bewegungsgleichungen einer harmonischen Schwingung beschreiben. Betrachtet man jedoch nur kleine Auslenkwinkel, so schwingt das Fadenpendel wieder nahezu harmonisch. Zur Herleitung der Differentialgleichung betrachten wir eine Kugel, die an einem Faden aufgehängt ist. Sie bewegt sich auf einer Kreisbahn. Auf die Kugel wirken zwei Kräfte: die Gewichtskraft und die Fadenkraft. Die Gewichtskraft kann in eine Komponente, die parallel zur Kreisbahn wirkt, und eine Komponente, die senkrecht zur Kreisbahn wirkt, zerlegt werden. Die parallel zur Kreisbahn wirkende Komponente der Gewichtskraft ist für die Beschleunigung in Bahnrichtung relevant. Die senkrechte Komponente erzeugt zusammen mit der Fadenkraft die Zentripetalkraft, um die Kugel auf eine Kreisbahn zu zwingen. Für die Beschreibung der Bewegung der Kugel auf der Kreisbahn ist nur die bahnparallele Komponente der Gewichtskraft relevant. Für kleine Auslenkungswinkel ist diese Rückstellkraft proportional zur Auslenkung, so dass sich für kleine Winkel eine harmonische Schwingung ergibt. Die Differentialgleichung erhält man, indem man die Grundgleichung der Mechanik verwendet und die aus der Rückstellkraft resultierende Beschleunigung bestimmt, die wiederum der zweifachen zeitlichen Ableitung der Auslenkungsfunktion entspricht. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist die Bewegungsfunktion einer harmonischen Schwingung, die die Schwingung des Fadenpendels für kleine Auslenkwinkel beschreibt. Wir werden für hierfür die Formel für die Frequenz und die Periodendauer herleiten.
00:00 Fadenpendel
00:54 Kinetische Betrachtung
02:06 Koordinatensystem
03:19 Kräfteansatz
06:09 Zusammenhang zwischen Rückstellkraft und Auslenkung
07:54 Herleitung der Differentialgleichung
09:37 Näherung für kleine Winkel (Kleinwinkelnäherung)
11:49 Lösung der Differentialgleichung für kleine Winkel (Frequenz und Periodendauer)
14:04 Wichtige Anmerkungen
Негізгі бет Fadenpendel (Herleitung, Differentialgleichung, Periodendauer, Bewegungsgleichung)
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