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【京大2016】「強い条件」は何だろう?【方程式・複素数】
Күн бұрын
【京大2016】「強い条件」は何だろう?【方程式・複素数】
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最難関の数学 by 林俊介
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Пікірлер: 35
@884
3 жыл бұрын
みなさん,こんばんは! 今回は,2016年の京大理系数学より,二次方程式の複素数解に関する問題をピックアップ。 複素数係数の 2 次式 f(x) = x^2 + ax + b について (イ) f(x^3) が f(x) で割り切れる (ロ) a, b の少なくとも一方は虚数(実数でない) が成り立っているときに,f(x) として考えられるものを全て求めるというものです。 条件 (ロ) は,係数の片方が実数でないということしか述べていないので,かなり弱い条件です。 まずは (イ) を使うことになります。 f(x^3) が f(x) で割り切れるということから,2 次方程式 f(x) = 0 の解の 3 乗もまた f(x) = 0 の解になっていることに気づけるかどうかが最初の山場です。 言われてみれば当たり前なのですが,案外見落としやすいように思います。 解の 3 乗も解になっていることがわかったら,あとはもとの解と 3 乗した解の対応づけによって場合分けし,f(x) を求めていくだけです。 途中からはパズルのような問題になるので,解いていて楽しいかもしれませんね。
@884
3 жыл бұрын
インナーを前後逆に着ていたので,今後気をつけます。(小学生)
@884
3 жыл бұрын
こういうコメントにだけ いいね つけるのやめーや
@たらこぱすた-q8d
3 жыл бұрын
ひどく首元がきついインナーだなとは思いましたww (ちゃんといいねしといた)
@overcapacitywhale
3 жыл бұрын
楽しい問題ですね。京大っぽくて良いと思います。
@884
3 жыл бұрын
シンプルな設定ですが,考えることがたくさんあって,パズルみたいで面白い問題でした。 どこが京大っぽいかはうまく言語化できませんが,確かにいかにも京大という感じの問題ですね笑
@hougen-aka
3 жыл бұрын
松坂和夫レベルにバカ丁寧な解説っぷりだな 大学の数学書もこれぐらいのレベルで解説してくれてたら、大学数学に興味持つ人がもっと増える
@tetsuro6733
3 жыл бұрын
f(x)=x²+ax+b=0 の解を p,q とおくと,解と係数の関係より p+q=-a, pq=b である。f(x³) は f(x) で割り切れるので x の四次式 g(x) を用いて f(x³)=g(x)・f(x) と書ける。このとき f(p³)=p⁶+ap³+b=0 式① f(q³)=q⁶+aq³+b=0 式② が成立する。 4つの未定変数に対して4つの式があるので頑張れば a,b,p,q の値が分かる。 ①-②より p⁶-q⁶+a(p³-q³)=0 つまり (p³-q³)(p³+q³+a)=0 [1] p³+q³+a=0 のとき ①+②より p⁶+q⁶+a(p³+q³)+2b=0 (p³+q³)²-2(pq)³+a(p³+q³)+2b=0 に p³+q³=-a を代入して a²-2b³-a²+2b=0 より b(b-1)(b+1)=0 つまり b=0,±1 のいずれか また p³+q³+a=(p+q)³-3pq(p+q)+a=0 -a³-3b(-a)+a=0 a(a²-3b-1)=0 より a=0 または a²=3b+1 a=0 のとき a,b いずれも実数になるので不適 b=0 のとき a²=1 より a=±1 となり a,b いずれも実数となるので不適 b=1 のとき a²=4 より a=±2 となり a,b いずれも実数となるので不適 b=-1 のとき a²=-2 より a=±√2i これで解けた!と思ったら [2] p³-q³=0 のときを忘れていました。
@tetsuro6733
3 жыл бұрын
p³-q³=(p-q)(p²+pq+q²)=0 なので p-q=0 または p²+pq+q²=0 の場合に分けられて [2] p-q=0 のとき a,b いずれも実数となって不適・・・これは重解のときですね。 [3] p²+pq+q²=0 のときに復号同順となる a,b が出てきます・・・頑張って計算すれば。
@miku6178
2 жыл бұрын
こんにちは 今年京都大学工学部電気電子学科を受験予定です この年はかなり上手くいったのか、細かい記述抜きで言えば全完を達成しました。 とくに京大定番の図形問題での論証が5行足らずで証明できたのが驚きでした。 本番もこの調子で望みたいです🤲 この調子で本番も望みたいです。
@ほう砲
2 жыл бұрын
整式の割り算の問題で恒等式を立てた後やることといえば値を代入して0となるようなものを考えることですね。
@sundaiosaka
2 жыл бұрын
朝も夜も林俊介。 ホンマに思考のプロセス的なものが身についていく気がしておもろい最高の動画や。
@884
2 жыл бұрын
ほかにも素晴らしい方はたくさんいらっしゃるので,様々なチャンネルで多角的に勉強するのもおすすめです! (もちろん,そうおっしゃっていただけるのは嬉しいです😃)
@mathematics2949
3 жыл бұрын
大学の教授ってよくこんな問題作れますよね
@884
3 жыл бұрын
ほんとですね〜。 難関大の入試問題としてちょうど良いレベルですし,何よりこれらの条件だけでちゃんと 2 次関数が求まるというのが驚きです。
@user-changchang
3 жыл бұрын
αとα^3が二次方程式の2つの複素数解なのに、何故βを考えるんですか?
@user-changchang
3 жыл бұрын
1文目が分からないのですが…… f(α)=0が成立していて、f(α^3)=0であることも分かっているなら、それらはどちらもf(x)=0の解であり、この場合それは二次方程式なので、それらが二解となるのではないんですか? 二次方程式の片方の解をαとおくと、もう一方の解はα^3と書けるのかと…… すみません、全然ピンと来てません💦
@884
3 жыл бұрын
あーごめんなさい,説明が不適切だったかもしれませんね。 α も α^3 も,f(x) = 0 の解ではあるんです。 ただ,α と α^3 が同じ値になることもありますよね? 例えば,二次方程式 x^2 = 1 を考えましょう。 この解は x = 1, -1 ですね。 α = 1, β = -1 とすると,α^3 = 1 も β^3 = -1 も f(x) = 0 の解になっていますね。 しかし,二次方程式 x^2 = 1 の 2 つの解が α, α^3 であるわけではないのは理解できますか? α = α^3 = 1 なので,これらは同じ解を指しているのです。 今回の例からもわかるように,f(x) = 0 の片方の解を α としたときに,他方は α^3 と書けるとは限りません。
@user-changchang
3 жыл бұрын
なるほど、それらが同一の値の時は、必ず重解という意味ではなく、別の解がある可能性も当然あるわけなんですね。 では、同一となるα=0,±1のときは別にして、それ以外の時はαとその3乗が解と言ってしまって大丈夫でしょうか? なんにせよ、このような勘違いは本番でやらかすと洒落になりませんね。
@hy8891
3 жыл бұрын
@@user-changchang そうです
@884
3 жыл бұрын
>では、同一となるα=0,±1のときは別にして、それ以外の時はαとその3乗が解と言ってしまって大丈夫でしょうか? そうですね,その理解で正しいです!
@伊藤豊-g7w
3 жыл бұрын
割り算するといってもf(x^3)と1次2次以外が一致するf(x)で割れる式を作って係数0の2式からa,b,を求めるだけだし計算したら偶然aは簡単に消せる形で簡単だった。場合分けもほぼ無いし。結果からしたらb=αβは1のn乗根の積より同じくn乗根の積なのでbを具体的に求める為にbの綺麗な式が出るのは想定出来るけど。
@rask-ck9uu
3 жыл бұрын
実数係数ではないので共役な複素数もその解、の方針が使えないのが難しいですね。
@884
3 жыл бұрын
そうですね。 文系の問題では ▶︎ 実数係数 ▶︎ 虚数解が少なくとも 1 つ存在 という条件でしたので,共役複素数も解であることから比較的容易に議論を進められたのですが,今回の理系の問題では複素数係数なので,残念ながらそう簡単にはいきません。
@麻婆豆腐-l2p
3 жыл бұрын
その辺の有料講義よりいいですね とにかく深いですから
@884
3 жыл бұрын
ありがとうございます!
@hougen-aka
3 жыл бұрын
リクエスト 俺的には東大の過去問で、「ビーカーの水を操作する問題」とグラフ理論の問題が難しくて印象に残ってるから、解説を期待したい
@884
3 жыл бұрын
コメントありがとうございます! 水量の不等式の問題ですよね。 今後の動画作りの参考にします。
@gj8076
3 жыл бұрын
見かけ以上に、場合分けの多い面倒な問題ですね。 やっていることは全く変わりませんが、私なら f(x)=0 の二解を α, βとすると、f(x^3)=0の解は、α, βそれぞれの三乗根を併せた六つであり、その解集合の中にα, βが存在することが条件と言っておいて、後は極形式で表現していくかな。どうせ、大きさは両方とも 1 であることはすぐ分かるから、後は偏角だけの議論ですむから、多少なりとも見栄えが良さそうかな。 と思うかもしれない。 割り算の方は、興味はあるが、さすがに面倒そうという気持ちが先にたって、実際にやるまでには至りません、今のところ。
@884
3 жыл бұрын
割り算の実行はマジで面倒です💦 割り算できたとしても,それが正しいのかどうか確かめるのが大変ですしね。 実際の試験では,計算ミスのリスク的にも割り算をする方法は採用すべきではないと思います。
@gj8076
3 жыл бұрын
@@884 要するに、1の3乗根をωとすれば、 (x^2+ax+b)(x^2+aωx+bω^2)(x^2+aω^2x+bω) = x^6+ax^3+b という等式の左辺を展開して係数比較して出てくる式と本質的に同じなわけでしょ?。やるなら、まだしもこっちだけど、これでもやる気がしない。いや、眺めているうちに意外と簡単かもという気もしてきた(やるとは言ってない)。
@gj8076
3 жыл бұрын
いや、間違えました。お恥ずかしい(汗)。このコメントは無視して下さい。
@smbspoon-me-baby
3 жыл бұрын
αが解ならα^3が解という部分、慣れてないとα^6+aα^3+b=0はわかってもそこで手が止まってしまいそうですね。 それ以外は決して難しくはなく、丁寧に場合分けするのみではあるんですが、なかなか体力が要りそう。そもそもこの手の問題に慣れがないと、本番のプレッシャーも相まって実数係数の2次方程式との違いがあやふやになってしまい、「共役な複素数も解だろう!」的な誤った議論をしてしまいそうです。それでも解と係数の関係や解の公式は使えますが、この問題にさりげなく内包された罠です。 その意味でも、これは良問と言えそうです。 私は筋が悪くて、6次式を2次式で割るタイプの受験生だっただろうな、たぶん。
@884
3 жыл бұрын
文系の問題では( 3 次式ではありますが)まさに実数係数なので,ある虚数が解であればそれと共役な虚数も解になります。 でも,この問題は複素数係数なのでそうはいかないですよね。 冷静に考えればわかることでも,実際の試験では混乱して共役複素数も解であると断定してしまう答案もあったのではないかと思います。 f(x^3) を f(x) で割り算する解法は,正しく割り算を実行できさえすれば,そこから先は案外簡単です。 ただ,お分かりの通り割り算自体はかなり大変で,計算ミスのリスクも高いので(商や余りの a, b の次数もまちまちなので),実戦的ではないかもしれません。
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