Очень интересная задача! Мне кажется, нашёл простое решение... Высота В(Н)К. Пусть АМ=МВ=ВК=х, угол МСА=в. Тр-ки МВС и АВС подобны. Угол а=в+30. ВС:х=2х:ВС. Отсюда: ВС=х\/2. Сл-но, ВК=КС=х. ВКС --равнобедренный. Угол в+30=а=45
@user-nl2ex6xn4u
4 ай бұрын
После того как опустили перпендикулярВК,увидели равные отрезки и равносторонний треугольник МВК, можно просто построить окружность с центром К и радиусом КВ.Эта окружность обязательно пройдет через точку С, так как угол опирающийся на хорду МВ равен половине центрального угла
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Отлично. Правда это 9 кл. Но супер!
@user-nd1pm9sn5h
4 ай бұрын
Из этого следует угол альфа равен 45градусов. Шикарное решение.
@edge_of_tomorrow
4 ай бұрын
Объясните пожалуйста, как окружность пройдёт через C? Как получается что KB = KC?
@Snuryus
4 ай бұрын
@@edge_of_tomorrow центральный угол МКВ - 60 градусов, значит если угол равен половине - то он является вписанным и вершина лежит на окружности. Так же и наоборот, если угол вписанный - то он равен половине центрального.
@edge_of_tomorrow
4 ай бұрын
@@Snuryus если угол равен половине, половине чего? и как KB=KC?
@coda6702
4 ай бұрын
Можно было заметить подобие треугольников ABC и MBC, y = BC, AM = x, 2x/y = y/x, y = sqrt2 * x, Значит KC = x, угол CMK = a = MCK = 15, искомый = 60 - 15 = 45
@alexsokolov8009
4 ай бұрын
KC = x, значит, BCK равнобедренный и прямоугольный, то есть отсюда сразу ответ в 45°
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Ваще круто!@@alexsokolov8009
@AT_geometr
4 ай бұрын
1:08 В этот момент полезно рассмотреть окружность с центром в К и радиусом х, она пройдёт через С. Дуга ВС тогда 90, значит альфа = 45
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Отлично! супер.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Правда окружности в 9 кл, если описанные, а так в 8 с углами .
@OmelaNV
4 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakovв 7 классе в параграфе о серндинном перпендикуляре говорим об описанной окружности (в ключевых задачах), а потом в параграфе о сумме углов треугольника - про вписанные углы, в т.ч. вписанный, равный 90°.. Восьмиклассники могут же воспользоваться этими знаниями из 7 класса🤔 Благодарю Вас за видео! Отличный материал для детей и помощь учителю! Успехов Вам!
@edge_of_tomorrow
4 ай бұрын
Поподробнее пожалуйста, че-то мутно
@edge_of_tomorrow
4 ай бұрын
Откуда уверенность, что радиус пройдёт от b к c?
@SB-7423
4 ай бұрын
Как ни странно, и эту задачу можно легко решить с помощью простейшей аналитической геометрии. Начало координат-точка А (0, 0). Ось х - вдоль луча АВ . Ось у - перпендикуляр из т. А. Координаты точек : M(1, 0), B(2, 0), C(c, d). Уравнение прямой АС : y = (√3/3)∙x. Точка С лежит на этой прямой, поэтому d = (√3/3)∙c ⟹ C(c, (√3/3)∙c). Угловые коэффициенты прямых : k(CB)= (√3/3)∙c/(c -2), k(CM) =(√3/3)∙c/(c - 1). tg∡BCM = √3/3 = (k(CB) - k(CM))/(1+ k(CM)∙ k(CB)) . Подставляя, найдем c = (3 + √3)/2 . Тогда k(CM) = (√3/3)∙c/(c-1)=1 ⟹ ∡BМС = 45°. Вовсе не противопоставляю это решение геометрическим, и не имею цели их сравнивать. Просто другой подход к решению.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Студентам - да!
@SB-7423
4 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Но я же не студент, а школьник. Мне так решать нельзя? Такое решение от меня не примут? Ведь это простейшая аналитическая геометрия, не выходящая за рамки сведений о прямой на плоскости. Чтобы так решить, не нужно быть студентом. Я всегда решаю так, как мне нравится, а не в соответствии с программой обучения по классам. До сих пор ни разу не снижали баллы.
@darinadamirova2910
3 ай бұрын
Но координатый метод изучают только в 9 классе. А нам нужно решение для среднего 8-классника,а не для вундеркинда
@alexsokolov8009
4 ай бұрын
Треугольники MBC и ABC подобны, поэтому BC/AB = MB/BC => BC = sqrt(AB*MB) = AB/sqrt(2), так как MB = AB/2 Теперь проведём высоту BH. Из треугольника ABH и угла в 30° следует, что BH = AB/2. Тогда из треугольника BHC sin(alpha) = BH/BC = (AB/2) / (AB/sqrt(2)) = sqrt(2)/2, и значит, alpha = 45°
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Да, конечно!
@viktorviktor5820
4 ай бұрын
Точно также решил.
@Andrej_rybak
4 ай бұрын
Благодарю. Долго думал. Как раз решил подобием треугольников АВС и СВМ. Отношение их площадей = 2 к 1, т.к.СМ - медиана треугольника АВС. Значит коэффициент подобия АВС к СВМ = √2 к 1. Пусть АМ=МВ=1. АМ=2. Тогда из подобия ВС=2/√2=√2. На АС опустим высоту ВН. Из прямоугольного треугольника АВН: ВН=АВ/2=1. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ВСН: Катет ВН=1, гипотенуза ВС=√2. Значит острые углы этого прямоугольного треугольника = по 45 градусов. Угол АВС=60+45=105 град. Альфа=180-(105+30)=45 град.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Отлично!
@adept7474
4 ай бұрын
8-й класс: ▲МВС ~ ▲АВС (по общему углу и углу 30°). x/y = y/2x. y = x√2. Высота ВН (на МС) = y/2 = x/√2. В ▲МВН МВ = х, ВН =x/√2, ⇛, МН = x/√2. α = 45°. У Вас выходные бывают?
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Супер!
@AlexeyEvpalov
4 ай бұрын
Если, из точки K провести окружность радиуса x, то центральный угол К=60° и C=30° опираются на одну дугу MB, то есть угол C=30° вписанный. Тогда BK=KC как радиусы, прямоугольный треугольник KBC равнобедренный, угол при основании C=45°. Треугольник ABC подобен треугольнику CBM по двум углам (общему B и 30°), то есть a=C=45°.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@andreykolobikhin
4 ай бұрын
Башка не варит, Алексей, но, как всегда, пытаюсь упростить, возможно радуя чем-то. Площадь MBC вдвое меньше и он подобен ABC. Это значит что высоту и основание ABC нужно разделить на √2 (или умножить на √2/2, sin, cos 45⁰), чтобы получить высоту и основание MBC. Сторона MBC равна x, высота MBC равна высоте ABC умноженной на √2/2., это 2x*sin(30)*√2/2=x√2/2. Ответ - 45⁰ (гипотенуза х, катет x√2/2)
@AlexeyEvpalov
4 ай бұрын
@@andreykolobikhinЭто точно, высоты лучше проводить из точки C на продолжение стороны AB. Отличное решение.
@andreykolobikhin
4 ай бұрын
@@AlexeyEvpalov 1/2 площади получается лишь при умножении (1/√2) * (1/√2) высоты и основания большого, при подобии, коэффициенты одинаковы. Постарался не менять соотношения.
@AlexeyEvpalov
4 ай бұрын
@@andreykolobikhinСогласен, так и есть, а √2/2=cos45°
@yurik13
4 ай бұрын
Прочитал в коментах про среднюю линию через т.М - Думаю, что не помешает (это первый мой шаг был). Далее я от С отложил 30° до пересечения с АВ - Получили еще один интересный треугольничек (Спойлер - равнобедренный и делающий первоначальный равнобедренным!) 🤔🤔🤔🤔🤔
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@andreykolobikhin
4 ай бұрын
Площадь MBC вдвое меньше и он подобен ABC. Это значит что высоту и основание ABC нужно разделить на √2 (или умножить на √2/2, sin, cos 45⁰), чтобы получить высоту и основание MBC, ведь они должны измениться одинаково чтобы дать вдвое меньшую площадь. 1/√2 * 1/√2= 1/2 - получаемый коэффициент уменьшения площади. Сторона MBC равна x, высота MBC равна высоте ABC умноженной на √2/2., это 2x*sin(30)*√2/2=x√2/2. Ответ - 45⁰ (гипотенуза х, катет x√2/2)
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@-wx-78-
4 ай бұрын
Радует пополнение рядов активных комментаторов толковыми товарищами. Ваша деятельность приносит плоды, Валерий Владимирович - продолжайте, с Вами свяжутся. 😉 О японской задаче про касание окружностей не забыл: неэлементарное решение в векторах (как оформление смутной идеи движения) есть, но длинное и нудное. На досуге попробую нарисовать нечто более дидактическое.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Большое спасибо. Ваше мнение ценно для меня. Вы помните "как все начиналось ...".
@sergeykitov2760
4 ай бұрын
Из подобия треугольников и теоремы синусов получаем, что синус альфа - корень из двух пополам, значит альфа либо 45, либо 135. P.S. Вроде решение максимально простое, но при просмотре видео выяснилось, что под простотой имеется в виду другое, только изначально в формулировке не было сказано, что угол острый, так что 135 не надо отбрасывать. Без теоремы синусов: примем длину AB за 2, тогда BC = sqrt(2), высота BB' = 1, отсюда
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Супер!
@viktorviktor5820
4 ай бұрын
Задача довольно просто решается. Ответ 45 градусов. Смотрим. Из т В опустим перпендикуляр BH, он равен х. Из подобия треугольников АВС и МВС ВС =х√2. Откуда из треугольника BHC sin альфа = х/х√2=1/√2. Альфа равен 45 градусов.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@user-yf1zt2dg8m
4 ай бұрын
Рисуем линии: перпендикуляр ВХ на МС, ХУ в середину ВС. И МУ. ВУХ - равносторонний. Углы под МУ - слева 30-а, справа 60-30-а. Получается МХ = ВХ. 45°
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@vladimirvolodarskya1904
4 ай бұрын
Строго говоря , для того , чтобы задача была однозначной , нужно в условии оговорить , что угол С - острый .
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Да, вы правы, но это не меняет сути решения, и я оговариваюсь при решении, что возможны два варианта. В текстовом виде будут 2.
@nikolaysharapov6298
3 ай бұрын
Задача интересная. А что если из точки М провести окружность. То точка М делит диаметр пополам. На радиусы. А сторона треугольника тогда касательная .
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Можно.
@user-xp6fw9gz8k
3 ай бұрын
Мантра советских абитуриентов, поступавших в хорошие ВУЗы: "Что знают школьники? Школьники знают подобные треугольники". Вот и находим их тут. Это CBM и CBA. Из пропорции сторон выводим, что BC^2 = 2 * BM^2. Теперь применяем теорему синусов для треугольника CBM. Тогда sin α = BC / BM * sin 30° = корень(2) / 2. То есть α = 45°
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо.
@seriyserjik709
4 ай бұрын
8 класс достаточно. Из подобия АВС и СВМ, у = корень из 2 ВК = х, значит угол С = 45 и равен искомому.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Отлично. Правда подобие в 3-й четверти, но пойдет!
@user-yw6nd4rq3i
4 ай бұрын
Изначальная идея с опусканием высоты вполне доводится до решения. Надо её совместить с подобием треугольников ABC и CBM, после чего знаем что в прямоугольном треугольнике CBK BK/BC=sqrt(2)/2. Откуда находим угол ACB, ведь про синус в 8 классе уже знают. А этот угол равен нужному из-за уже использованного подобия
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@smirnov-49
4 ай бұрын
❤ Дождавшись формулировки задания останавливаю видео, намечаю ход своего решения, продолжаю просмотр и вижу: Вы решили тоже посмотреть как это решат восьмиклассники. Раз ответ 45° это вполне возможно... Опоздал 😮 уже решили. Вам ❤ и решившему ❤
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо.
@ivantochev3980
4 ай бұрын
Rotate tr.ABC around AC. New Point N on AC and M coincides with N (MN perpendicular AC). New point O on AC where BH crossing AC.(BH perpendicular AC). H coincides with B. AM = MO, so triangle AMO has AM = MO = OC and angle MON=30 deg. Because OM=OC then, angle OMC = angle OMC=OCM=15 deg.Let's see angles around point M.Angle AMO=120 deg., Ang OMC=15 deg, therefore ang.CMB=45 deg.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Super!
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
@ivantochev3980
4 ай бұрын
Thank you!
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
@@ivantochev3980
@user-nl2ex6xn4u
4 ай бұрын
КС равно КМ как радиусы ,угол АКМ равен 30 градусов.Тогдаугод КМС равен 15 градусам,а искомый угол 45 градусов
@vkr122
4 ай бұрын
Ну вот пока думал и писал , вы опередили 😁
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@math2457
4 ай бұрын
Вокруг Δ АВС построим окружность. Ее центр О будет лежать на перпендикуляре из точки М. Соединим этот центр окружности О с точками В и С, получим равносторонний Δ ОВС с углами 60⁰ (дуга ВС равна 60⁰, т.к.угол ВАС = 30⁰). Т.к. угол ВСМ = 30⁰, то угол МСО = 60-30 = 30⁰, отсюда Δ-ки МВС и МОС равны по двум сторонам и углу между ними. Значит угол ВМС = углу ОМС. В сумме они дают 90⁰. Отсюда искомый угол ВМС = 90/2 = 45⁰.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@innaveltman5646
4 ай бұрын
а >30, уже доказано. Продлите ВС. Отложите 30 гр.рротив часовой из М . Окр. М, х пересчёт прямую ВС в точке Т. ВМС равнобедренный с углами 30, а+30,а+30. Понятно, почему пересчёт, да? Вот вам и 45. В вашем способе можно провести среднюю линию в М, получить подобные треугольники и через синусы или иначе посчитать а- получится короче .
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@Stas-bl4ud
3 ай бұрын
Пускай АМ=МВ=а. Треугольники ABC и CBM подобны по двум углам, откуда AB / CB = BC / CM => BC^2 = AB * CM = 2a*a = 2a^2 => BC = к.2 а. по теореме синусов из треугольника BCM sin угла BMC = к.2 / 2 откуда искомый угол равен 45 градусов
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Отлично.
@pojuellavid
4 ай бұрын
Мне тяжело без СВОЕГО чертежа объяснить чисто геом. решение. Из т М восстанавливаем перпендикуляр, относительно его отражаем т С. С1 соединяем с А, С и М. В итоге получается, что угол альфа = половине прямого. А как чертеж прикрепить?
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@user-np1oq2vz7n
4 ай бұрын
идем по вашему 7 классу. потом подобие и y=x кор 2. если х высота а у корень из 2 высоты, то угол С 45, ответ
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@kotehokgab1327
4 ай бұрын
А? Слишком просто, нет? Симметрию используем к стороне АМ и выходит равнобедренный СМС1 треугольник. Угол при основании 30°, второй тоже 30, а значит, последний (2 альфа) угол равен 180-30-30=120°. Делим на два ответ получен, 60. Нет?
@kotehokgab1327
4 ай бұрын
А, понятно. Нет гарантии, что ВС будет продолжен, как прямая...
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо. Все так.
@edge_of_tomorrow
4 ай бұрын
АСВ 45°?
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Да, отлично!
@user-ig8de5jf6h
4 ай бұрын
обозначим стооны верхн 1 (лев) б (прав) и с (нижн) Тогда по подобию 1/б=б/2 б²=2 б=√2 И значит коэф подобия √2 С с и √2с больш основ И топерь по теор кос находим с с²=1+2с²-2*√2с*кос30 с²+1=√6с с²-√6с+1=0 6-4=2 с=(√6+√2)/2 т.к. с>1 c=√2(√3+1)/2 cosa=(1+(4+2√3)/2-2)/(2*√2(√3+1)/2) cosa=((2+√3)-1)/√2(√3+1) cosa=(1+√3)/√2(√3+1) cosa=√2/2 a=45°
@user-ig8de5jf6h
4 ай бұрын
А вот без тригонометрии не выходит
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Отлично!
@edge_of_tomorrow
4 ай бұрын
АКВ 90°?
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Почти, 89.
@edge_of_tomorrow
4 ай бұрын
Вот я тупанул)))
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спокоййо!
@edge_of_tomorrow
4 ай бұрын
Давайте поподробнее расскажите мне откуда берётся, что вк =кс?
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Оно не равно.
@edge_of_tomorrow
4 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov ТОЧНО?
@Snuryus
4 ай бұрын
Для восьмого класса нужно строить равносторонний треугольник на стороне ВС, чтобы третья вершина лежала под стороной АС. Тогда обнаружится что треугольники CBM и СDM равны (две стороны и угол между ними). Значит и MB=MD, треугольник MBD равнобедренный и прямоугольный, а искомый угол - половина прямого угла. Точнее это для 7го :) Тут не используется подобие треугольников. Просто знать признаки равенства, и что сумма углов 180.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Отлично!
@user-sk4zg4eo5l
4 ай бұрын
Я просто взял точку D(под AC) , чтобы CD=BC и MB=MD. BCD - равносторонний. Однако как доказать, что MDB прямоугольный? Я не доказал, решил все таки через подобие , и вычислил BC и т.д.
@user-sk4zg4eo5l
4 ай бұрын
Докажите, что MBD -прямоугольный. ?? BD перпендикулярно MC это очевидно.
@user-sk4zg4eo5l
4 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov, не очевидно, что треугольник MBD прямоугольный. Я шёл по этому пути , но не смог это доказать. Только через подобие, и вычисление BC
@Snuryus
4 ай бұрын
@@user-sk4zg4eo5l Там есть много вариантов как доказать что он прямоугольный, я не помню что из этого учили в седьмом-восьмом классе, а что нет. Самый очевидный - это точка D является центром описанной окружности, а MD соответственно серединный перпендикуляр. Можно и сразу начинать с описанной окружности и того что MD перпендикуляр, а напротив угла в 30 градусов, будет дуга в 60 градусов, и соединив вершины с центром окружности мы получим равносторонний треугольник.
@olsi7041
4 ай бұрын
Пи/4
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Спасибо.
@edge_of_tomorrow
4 ай бұрын
МК=ВК = r=x?
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Наверное.
@edge_of_tomorrow
4 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov ЗНАК вопроса уже не нужен
Пікірлер: 109