Уважаемые постоянные зрители. Помогайте отвечать на ЛЖЕРЕШЕНИЯ! Очень прошу. Уже посыпались за 15 сек.
@SB-7423
3 ай бұрын
Отрезок ВВ1 не несёт никакой нагрузки. Просто отражаем треугольник АВК относительно биссектрисы АК. Он и не нужен. А все попытки решить геометрическими построениями будут лжерешениями. Лучше Вашего решения не нашёл.
@АлексейБагларов
3 ай бұрын
А у меня получилось решить именно геометрические. Построений много, попробую описать словами. Провел перпендикуляр КВ1(не биссиктрису). Продолжил АВ и КВ1 до пересечения. Получившихся угол 30гр т к АВ подобен получившихся тр АВ1ну и новая вершина пусть будет В2. Пока писал что то засомневался в своём решении. Проверю, если все верно продолжу.
@КонстантинВинников-р6б
Ай бұрын
Какой вы хитрец, Валерий Казаков, зачем смущаете скептиков, такими словами, как докажите, что тот, или этот угол, равен половине другого угла, и тут же показываете, что угол в 120°, делится пополам перпендикуляром, опущенным из его вершины, в середину, не побоюсь сказать, гипотенузы, куда перед этим, провели из , не побоюсь сказать прямого угла, медиану, которая оказывается равна не только половине гипотенузы, но и равна, не побоюсь сказать катету, равному √3. В этом большом треугольнике, оказалось 3, абсолютно равных прямоугольных треугольника, со сторонами 1, √3 и 2. Никакие оговорки не могут запретить самый надёжный способ решения геометрических задач, это геометрия древних греков, Евклида, Пифагора, Архимеда Сиракузского, Фалеса Александрийского и других знатных геометров. Я нисколько не умаляю значения арабских учёных математиков, которые изобрели не только современные цифры, но и такую науку, как алгебра, которая помогает решать задачи по геометрии, там, где нет очевидных показаний на чисто геометрическое решение, правда, не в этом случае, когда соотношение таких размеров, как √3, 2 и угол в 60°, сразу наводят на мысль, что и где нужно искать, тем более, что в помощь к уже указанным значениям, проведена биссектриса угла, которая и образует угол в 60°, с одной из сторон, продолжение которой равно 2 и образует развёрнутый угол, вторая часть которого равна 120°. Кажется я слишком много написал и запутался всех. Но вы, учитель, доказали 100% мои изложения. Спасибо!
@SB-7423
3 ай бұрын
Отрезок ВВ1 не несёт никакой нагрузки и не нужен. Просто отразить треугольник АВК относительно биссектрисы. Все решения с попыткой решить задачу чисто геометрическими построениями обречены на неудачу и будут лжерешениями. Комментариев к лжерешениям писать больше не хочу, многие зрители воспринимают их болезненно, и начинают упорно говорить на белое-черное. Бессмысленно. Лучше Вашего решения не нашёл, хотя пытался, правда не долго.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо. Думаю, да, это такой случай.
@БилИкени-Ониу
2 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov я решил геометрически...даже корень из 3 не понадобился
@ЗлюкинЗлюкин
3 ай бұрын
Какие-то космические корабли! А если сразу провести биссектриссу КВ1, доказать, что угол С равен половине углаА. Отсюда равенство треугольников АКВ1 и СКВ1, отсюда КВ1 высота. Треугольник АКС равнобедренный, АК=2. Из равенства АКВ и АКВ1 угол В прямой. И теорема Пифагора. Решил задачу устно за 15 сек.)
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо. Биссектриса - это тоже самое что я провел. А как вы сможете "доказать, что угол С равен половине угла А"? Думаете там дураки задачу олимпиадную такую дали?
@alexnikola7520
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov ))
@ЗлюкинЗлюкин
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Да, должен с Вами согласиться. Я не прав!)
@alexandrsergeevich2929
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov @GeometriaValeriyKazakov дак Вы же сами вывели что угол АКВ=АКВ1=60° А КВ1 - высота следовательно она перпендикулярна к АС те. 90° Ну и исходя из того что сумма углов это 180° находим КАВ1=КСВ1=30° как разницу каждую в своём треугольнике.
@Snuryus
3 ай бұрын
@@alexandrsergeevich2929 Если провести высоту КВ1 - вы не сможете доказать что это биссектриса. А если провести биссектрису КВ1 - то не сможете доказать что это высота.
@AlexeyEvpalov
3 ай бұрын
Даже подбором, при B=90°, легко находится X=1. В видео, решение хорошо обосновано.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо за оценку. Конечно, нужно решить задачу. Подбор в данном случае на олимпиаде не катит.
@alexnikola7520
3 ай бұрын
ну да... задача не простая(... треуг-то не прямоуг... но если поразмыслить... АС=t... по св-ву биссектр х/√3=2/t... t=2√3/x... далее... можно провести биссектр угла АКС на АС, тчк О... тогда треуги АВК=АКО по двум углам и общей стороне... АО=√3... КО=х... ОС=(2√3/x)-√3 тогда по теор косин (2√3/x)-√3)^2 = x^2+4 - 2х... ур-е сложное, 4-й степени... пришлось попотеть... х=1... решение, не ахти... но, как говорится - чем богаты
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Абсолютно верно! Это то же самое уранвнение. Его легче решить монотонностью левой правой части!
@papa54-y2l
2 ай бұрын
АВС - это половина правильного треугольника со стороной 2sqrt(3) с медианой ВС= 3, вписанного в окружность с R=2. Поэтому ВК=3/3=1.
@GeometriaValeriyKazakov
2 ай бұрын
Спасибо.
@valeraag5634
3 ай бұрын
Решим чисто геометрически. Проведём бессиктр КВ(1) угла .АКС. 🔺️ АВК = 🔺️ АКВ(1) по 2-му признаку. Перевернём через т.К наизнанку 🔺️В(1)КС, т.В(1) попадёт в т.В (ВК = В(1)К), В(1)С составит с АВ одну прямую АС (
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо. Пока нет времени детально разобраться. Но обязательно вернусь. Идеи очень хорошие.
@valeraag5634
3 ай бұрын
О! Вы совсем не отдыхаете! Спасибо Вам! Я совсем не хотел беспокоить Вас так поздно. Просто я там, где часто выключают свет. Берегите своё здоровье.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
@@valeraag5634 Спасибо. Я то что. Вы тоже берегите себя.
@vkr122
3 ай бұрын
Да сейчас хорошее описание, все понятно. Но утверждение : "опирающийся на ту же дугу
@Александр-о8т8в
2 ай бұрын
Способ 1 Из формулы площади треугольника через стороны и синус (неизвестные равные углы пусть альфа): Sqrt(3)*0.5*АК*Sin(альфа) = 0.5*АК*х*Sin(60), откуда х=2Sin(альфа). Из В проведём высоту h. Одновременно: h = sqrt(3)*Sin(2альфа) и h = (x+2)*Sin(60-альфа). Приравняв эти два выражения и положив, что Sin(альфа) = t, в итоге получим на первый взгляд "страшное" уравнение: t^4 - t^3 + 0.25t^2 + 1.5t - 0.75 = 0. Распишем: t^2*(t-0.5)^2 + 1.5*(t-0.5) = 0. Сократив, получаем: t^3 - 0.5t^2 + 1.5 = 0. Теперь пусть t = p-1. Тогда уравнение сокращается до второй степени: p^2 - 3.5p + 4 = 0. По Виету находим два комплексных корня и сразу находим корни t. Будет: t(1,2) = 0.75 +- i0.968245. Тогда из уравнения третьей степени по тому же Виету получается, что t3 = -1. И аналогично из изначального уравнение 4-й степени t4 = 0.5, т.е. Sin(альфа) = 0,5, откуда х = 1. Способ 2 Как в первом способе выражаем х = 2Sin(альфа). Т.к. АК - биссектриса, то можно зеркально отобразить треугольник АВК. Так, что его сторона sqrt(3) совпадёт с основанием главного треугольника АВС. Собственно, автор и построил такой чертёж - четырёхугольник АВКВ1. Очевидно, что угол АВ1К = 120 - альфа. Также очевидно, что в треугольнике АВВ1 угол АВВ1 = углу АВ1В. Обозначим их для удобства как бета. Получается: 2альфа + 2бета = 180. Откуда бета = 90-альфа. Тогда: 120-альфа-90+альфа = 30. Т.е. угол КВВ1 = КВ1В = 30. Значит, диагонали четырёхугольника АВКВ1 пересекаются под прямым углом. Тогда х*cos(30) = sqrt(3)Sin(альфа). ВВ1 по теореме косинусов: ВВ1 = sqrt(12)Sin(альфа). Но sqrt(3)Sin(альфа) - это половина ВВ1. Значит, в треугольнике АВВ1 отрезок (часть АК) является и высотой, и медианой, и биссектрисой. Значит, сам треугольник равносторонний. Т.е. 2альфа = 60 и sqrt(12)Sin(альфа) = sqrt(3). Откуда альфа = 30, а х = 1. Способ 3 По теореме синусов из АКС: АС/Sin120 = 2/Sin(альфа), следовательно, АС = sqrt(3)/Sin(альфа). Но также по теореме синусов из АВС: АС/Sin(120-альфа) = sqrt(3)/Sin(60-альфа). Откуда АС = sqrt(3) * ((sqrt(3)cos(альфа) + Sin(альфа))/(sqrt(3)cos(альфа) - Sin(альфа)). Приравнять данное выражение к АС = sqrt(3)/Sin(альфа) и положить, что cos(альфа) = t. Тогда получится уравнение: t^3 + sqrt(3)t^2 - 0.25t - sqrt(3) = 0. Здесь, увы, никак по-хитрому не упростить, решать либо графически, либо специальными методами. Я делал по Виету. Получаются корни: t(1,2) = -1.299 +- i0.559017 и t3 = sqrt(3)/2, откуда альфа равен 30 градусам. Дальше легко находится АС = 2sqrt(3) и по Пифару х = 1.
@vkr122
2 ай бұрын
В способе 2 "Значит, в треугольнике АВВ1 отрезок (часть АК) является и высотой, и медианой, и биссектрисой. Значит, сам треугольник равносторонний." , почему равносторонний?
@Александр-о8т8в
2 ай бұрын
@@vkr122 Да, уже увидел. Принял желаемое доказательство за действительное. Похоже, тут вправду только алгебраические методы.
@vkr122
2 ай бұрын
@@Александр-о8т8в Не совсем , есть геометрическое ( см. комент @illarionpak1607 , там только надо продратся через неудачное обяснение ,но на мой взгляд на данный момент самое лучшее решение), есть тригонометрические , и у меня еять решение ( только не знаю как его класифицыровать 😀).
@Александр-о8т8в
2 ай бұрын
@@vkr122 Единственно, что можно.... хм... "пожонглировать" ) Выведено, что ВВ1 по теореме косинусов: ВВ1 = sqrt(12)Sin(альфа). Отрезок-часть АК = sqrt(3)*Sin(90-альфа) = sqrt(3)*cos(альфа). Если из В также провести высоту, то она равна sqrt(3)*Sin(2альфа). Допустим, треугольник равносторонний. Значит, его высоты равны, а ВВ1 равна sqrt(3). Если высоты приравнять: sqrt(3)*cos(альфа) = sqrt(3)*Sin(2альфа), то получится, что sin(альфа) = 0,5. А это значение при подстановке в ВВ1 = sqrt(12)Sin(альфа) как раз даёт sqrt(3). Хотя, конечно, это "натягивание совы на глобус" )
@GeometriaValeriyKazakov
2 ай бұрын
Супер! Большое спасибо.
@АлексейЖеребнев-н3я
3 ай бұрын
Из точки К проводим параллельную АС , пересечение с АВ точка А1. Углы ВКА1 и КАС накрест лежащии и равны.. Треугольники А1ВК и АВС подобны, откуда угол С равен углу КАС., тогда треугольника АКС равнобедренный , АК=КС.=2 Проводим высоту КВ1, треугольник АКВ1 =В1КС , откуда угол АКВ1 равен 60 градусов Треугольники Авк равен АКВ1 , ОТКУДА углы ВЕК =АВ1К =90 градусов Далее по Пифагора находим ВК=1
@SB-7423
3 ай бұрын
"Треугольники А1ВК и АВС подобны"- это правильно. Но дальше утверждение неверно: "откуда угол С равен углу КАС". Угол С равен углу ВКА1 из этого подобия, но никак не углу КАС.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
@@SB-7423 Спасибо за помощь!
@zmeygames7541
3 ай бұрын
Строим перпендикуляр BB1. Точка пересечения пусть будет D. Треугольник BAB1 равнобедренный, угол ABD 60 градусов. Угол KBD 30 градусов. Значит угол B 90 градусов.Угол BAK (180-90-60) равен 30 градусов. значит КАС тоже 30 градусов. Угол АКС (180-60) равен 120 градусов, а значит АСB равен (180-120-30) тоже 30 градусов. АКС равнобедренный, так как углы при основании равны, значит АК=КС=2. Далее по теореме пифагора АК2=АB2+X2, X=1.
@vkr122
3 ай бұрын
Как вы узнали что : "угол ABD 60 градусов", поделитесь пожалуйста.
@zmeygames7541
3 ай бұрын
@@vkr122 Да, не доказал. Ну ладно, ничего страшного. Надо провести КВ1, легко находится угол С, а дальше угол А, потом угол В
@АлексейБагларов
3 ай бұрын
Я решил! Думал опять надолго зависнуть. Решение длинное, делал доп построения, на прямоугольных треугольниках строил окружности, на хордах находил равные углы, ну и тд. В конечном счёте достроился до равностороннего тр_ка, одной стороной которого была АС, а вторая включала в себя АВ. Ну а дальше по свойству медиан (они же биссектрисы) нашёл х.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Рад за вас.
@OlegVlCh
3 ай бұрын
Вот Ферма на полях тоже написал, что решил... 😅
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
@@OlegVlCh
@kulikovsergey3522
3 ай бұрын
Решаю здесь. Проводим биссектрису
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо. А откуда это " Тр-к АВС подобен АВК"? УВ них только общий угол B!
@kulikovsergey3522
3 ай бұрын
Хороший вопрос. Ранее я написал что Тр-к АВК = АКД = КДС по 2 углам и общей стороне мне это показалось очевидным. Поправлюсь: Тр-к АВК = АКД, далее докажу что Тр-к АКД = КДС. Из равенства Тр-к АВК = АКД следовательно что АД = АВ = \|3, КС = 2 по условию, но это получается при условии что
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
@@kulikovsergey3522 И вам спасибо.
@illarionpak1607
3 ай бұрын
Решение почти без формул 1. Начертим окружность так, чтобы отрезок KC стал ее диаметром 2. Продлим AK до (второго) пересечения с окружностью в точке D 3. Получим прямоугольный треугольник KDC с катетами 1 и √̅3 и острыми углами 60° и 30° 4. Дальше окружность нужно стереть, чтобы не мешала 5. Найдем точку F как пересечение прямых (AB) и (CD) 6. Т.к. AD - бисектрисса и препендикулярна FC, то она же и медиана отсюда FK=2, DF = √̅3, угол FKD=60° 7. Проведем прямую (FK) до пересечения с отрезком AC 8. Линия (FK) - является осью симметрии для линий, пересекающихся в точке K 9. Поскольку AB = CD = √̅3, то линия (FK) - также является осью симметрии и для линий (AD) и (BC) 10. Отсюда линия (FK) - ось симметрии всего чертежа (считая, что окружность стерли) 11. Тогда x=1 Ответ: x=1
@ДмитрийИвашкевич-я8т
3 ай бұрын
Начиная с 8 пункта сумбур. Симметрия линий не означает симметрию отрезков. Похоже на то, что вы по умолчанию считаете, что угол АСВ равен ВСF, так же как АFK равен КFC, но это не доказано выше.
@illarionpak1607
3 ай бұрын
в 1-8 пунктах показано, что в точке К все линии сходятся под углом 60° Надеюсь с этим согласны. Поясню пункт 9. Из точки F выпущены две прямые FA и FC так, что они отсекают равные отрезки по √̅3 как слева, так и справа Из чего делается вывод, что FK - биссектриса угла AFC. Если такой вывод кажется неочевидным, вот детали: а) Проведем произвольный луч L, исходящий из точки F, пересекающий прямые (AK) и (BC) b) Зависимость длины отрезка, отсекаемого прямыми (AK) и (BC) на луче L, от угла между лучом и линией (FK) монотонно возрастающая c) Отсюда длина отсекаемого отрезка √̅3 однозначно определяет угол между L и (FK) d) Однозначно - следовательно FK - биссектриса угла AFC Так что ничего по умолчанию не бралось в расчет.
@vkr122
3 ай бұрын
@@illarionpak1607 Цитата: " Из точки F выпущены две прямые FA и FC так, что они отсекают равные отрезки по √̅3 как слева, так и справа" , слева я так понимаю АВ1 а справа где?
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо за идеи.
@illarionpak1607
3 ай бұрын
@@vkr122 AB = CD = √̅3 слева AB, справа CD
@СвободныйМатематик
3 ай бұрын
На основании возьмем точку В1 так чтоб АВ1=√3 Получается равный тре-к КВ1=х Возбмем на КС точку М чтобы КМ=х И получается КВ1М равност тре-к В1М=х и МС=2-х По свойств подобия АК/2=х/(2-х) АК=2х/(2-х) Теперь нам остается только косинус 3=х²+4х²/(2-х)²-2*х*2х/(2-х)*cos60 3(2-х)²=4х²+х²(2-х)²-2х²*(2-х) 12-12х+3х²=4х²+х⁴-4х³+4х²-4х²+2х³ 4х²+х⁴-4х³+4х²-4х²+2х³-3х²+12х-12=0 х⁴-2х³+х²+12х-12=0 х=1 ✓ х=-2 ∅
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Супер!
@igor.timofeyev
3 ай бұрын
02:02 - Начиная с этого момента, можно доказать от противного, что KB1 перпендикулярен AC. Если это предположение верно, то треугольники AKB1 и KCB1 равны и указанные их параметры согласуются друг с другом. При отклонении же от перпендикулярности в любую сторону KC=2 приведёт к тому, что AB1 будет не равно √3, и это противоречит написанному.█
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Да, идеи нормальные. На олимпиаде при обоснованиях каждого утверждения. скорее всего, все почикают. Поставят 1-2 балла (за идею).
@МихаилПеревозчиков-н3г
3 ай бұрын
Отложим на сторону ВС точку К1, так что К1В=ВК, АК=АК1. Откуда треугольники равны по трем сторонам, углы по 60- треугольник равносторонний, следует биссектриса является высотой, а дальше дело техники
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
К сожалению, "дальше" ничего не получится геометрическим путем. Задача сводится либо к алгебраическому, либо к тригонометррическому уравнению! Такие дела!
@МихаилПеревозчиков-н3г
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov, да, но решение проще
@БилИкени-Ониу
2 ай бұрын
я рещил по-другому... сразу отзеркалил тр АКВ1 . Уг КВ1С=180-В(АВС или АВ1К)...Тогда АСВ=180-В-60=120-В, но и КАС=120-В. Получается они равны ...и равны 30, а В- 90...тогда х=1 тк синус 30- 0,5...Проще?
@БилИкени-Ониу
2 ай бұрын
...все комменты не читал, но думаю я не первый)
@vkr122
2 ай бұрын
Было бы слишком просто. На самом деле АСВ=180-(180-В)-60=В-60.
@GeometriaValeriyKazakov
2 ай бұрын
Спасибо.
@ald6980
3 ай бұрын
Просто в лоб и без идей: sin(A/2) = x/2 из теоремы синусов --> cos(A) = 1-(x^2)/2. AC = 2sqrt(3)/x из свойства биссектрисы. (2+x)^2 = 3+12/(x^2) -12(1-(x^2)/2)/x - теорема косинусов. Получили уравнение 4-й степени, как и автор, корни 1 и -2 угадываются без раскрытия скобок. Дальше можно раскрыть скобки и понять, по теореме Безу, что оставшиеся два корня комплексные. UPD. Кстати, после раскрытия скобок окажется, что полученное уравнение - такое же, как у хозяина журнала, хотя получено иначе.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Отлично!
@mikhailkadomtsev4886
3 ай бұрын
Ну сразу хочется подставить для другого острого угла 60 градусов. И быстро убеждаешься, что это ничему не противоречит. Так что не вижу интриги
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Жаль. Мощная задача. Все остальные это увидели. Я же в конце. рассказал именно для вас, что вам придется доказать, что ваш "угаданный" равен нашему.
@arbo1219
3 ай бұрын
Решение пятиклассника. sin60° = корень из 3/2 = АВ/АК. АВ = корень из 3. АК = 2×корень из 3 ÷ корень из 3 = 2. cos60°= 1/2 = BK/AK. BK = AK×1/2 = 2×1/2 = 1. Проверка: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов -- 2^2 = (корень из 3)^2 + 1^2 ==> 4 = 3+1.
@vkr122
3 ай бұрын
Это почему так ;" sin60° = корень из 3/2 = АВ/АК" вы используете инсайдерскую информацию о том что угол АВК прямой, в условиях задачи этого нет😀
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо. Пусть использует. Таможня дает добро!
@arbo1219
3 ай бұрын
@@vkr122 Извините за запоздалый ответ. В процессе решения задачи выяснилось, что тр-к АВС представляет собой ровно половину равностороннего тр-ка АDС (основание АС, высота DB1, левая боковая сторона АВD, правая сторона DC). CB - высота = 3, опущенная на сторону АD в т.В. Отсюда следует, что
@WalerijSchmidt-g4d
3 ай бұрын
Из т. В опустим перпендикуляр на АС в т. М , построим зеркально тр. МВ1С , получим тр. ВВ1С . Из углов В иС проведем медианы , они пересекутся в т. О . Проведем окр. радиусом R=OB=OC=OB1 , тр. ВВ1С равносторонний , откуда легко вычислить X=1 .
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо. Напишите пояснее как "построим зеркально тр. МВ1С" зеркально какому, относительно какой оси, где лежит B1. задача не имееет геометрического решения, ожно не стараться. По-крайней мере, никто из крутых олимпиадников не нашел.
@WalerijSchmidt-g4d
3 ай бұрын
Я не правильно выразился , построим зеркально тр .АВ1С, линия ВВ1 пересекает АС в т. М .
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
@@WalerijSchmidt-g4d Спасибо.
@Alexander23523
3 ай бұрын
Не первый раз биссектриса угла в 120° помогает найти решение
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Так точно. Но здесь покруче кипяток!
@P.S.Q.88
3 ай бұрын
По теореме синусов √3/sin60=x/SinВАК Отсюда х=1/2АК при угле ВКА 60град. Значит, треугольник АВК прямоугольный. Тогда зелёные углы по 30 градусов. Поскольку угол ВАС 60 градусов, то угол ВСА 30 градусов, так как треугольник АВС прямоугольный. Значит, треугольник АКС равнобедренный и сторона АК =КС=2. Поскольку уже определили, что х=1/2АК, то х=1.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Неверно. А откуда вдруг Из √3/sin60=x/SinВАК следует x=1/2АК? Вы как зунали угол BAK?
@P.S.Q.88
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Точно, принял предполагаемое за известное. Сшибка вышла (((
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
@@P.S.Q.88 Это действительно олимпиадная и жесткая. НО вы попробуйте двумя теорема синусов привести к тригнонометрическому уравнению. Дальше решим вместе.
@@GeometriaValeriyKazakov А вот же решение: @user-jo1og4pl6u 8 hours ago Если решать с помощью теоремы синусов для АВК и АКС, то получим sin(60-a)/sin(60+a)=sina. Казалось бы нетрудное ур-е, но решить его не получается. Только методом подбора. Пусть знаменатель равен 1 и тогда сразу а=30 град. @SB-7423 5 hours ago А зачем его решать? Функция f(x) = sin(π/3 -x) убывает на отрезке [0, 1], а функция g(x) = sinx*sin(π/3+x) возрастает на этом же отрезке. Поэтому внутри отрезка может быть только один корень, и он х = π/6. Это, как Вы верно отметили, видно сразу.
@NataliBoshkoizLugi
3 ай бұрын
К 9:58 - на этом месте можно остановиться и подставить в уравнение х = 1 И оно сходится. Попытки подставить другие цифры не дают правильного результата.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
А вдруг когда-нибудь через 1000 лет дадут? Но вы правы, что в этом месте можно рассматривать монотонность левой и правой частей. Она разная.
@NataliBoshkoizLugi
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov А тут большой свободы действий нет. Заданные размеры 2 и √3 не позволяют увеличивать Х до бесконечности. Он не может растянуться до 100 и даже до 10.
@ИванИванов-б5г9б
3 ай бұрын
офигеть! зачем такая сложность, х=1 - решение за 10 сек чисто геометрическое.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Это действильно олимпиадная задача очень высокого уровня. Для профессионалов (почитайте). Любители, конечно, могут себе сами придумать угол в 30 или 90 градусов. Поверьте на слово - просто ее не решить.
@ВасилийЧереззаборногуперекинул
3 ай бұрын
2:17 в треугольнике КСВ1 угол с=30, КВ1=1/2КС=2*1/2=1 Ответ: х=1
@adept7474
3 ай бұрын
"в треугольнике КСВ1 угол с=30". С какого перепуга?
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Не-не, это глюки! Нет там 30 градусов.
@adept7474
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov 👍
@vkr122
3 ай бұрын
Задача сильная и хотя решение х=1 очевидно доказать это не просто. Предложу решение без дикой (4 степени) алгебры, Первым шагом докажем что х не меньше 1, по т. синусов из треугольника АВК sinВАК=х/2 , так как КС=2 а расстояние от К до прямой АС не больше х то угол КСА не больше КАС и следовательно АК не больше 2 , рассмотрим треугольник АКВ и если выразить АВ по т. косинусов то исходя что АК не больше 2, то х не меньше 1. Вторым действием докажем что х не больше 1, рассмотрим треугольник В1КС и выразим В1С по т. косинусов учитывая что х не меньше 1 то В1С не меньше √3 и тогда по свойству бисекрисы √3/х=АС(которое не меньше2√3)/2 то х не больше1. третим действием осталось рассмотрет единственный возможный вариант х=1 и убедится что при таком х все условия выпольняются , но это в задаче уже зделано.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо. Ур-ние 4-й, вообще говоря, довольно рядовой и типичный случай для олиимпиадной задачи с алгебраическим решением. У нас где-то 20 роликов с таким уравнением. Ваш подход интересен, жюри дало бы 4 б из 8 б.
@vkr122
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Согласен, олимпиадник (хороший) должен справлятся с такими уравнениями .А иот с критериями олимпиадного судейста не знаком и интересно за что снизили бы оценку ведь задача по сути решена или при оценке имеет значение метод решения?
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
@@vkr122 Долго объяснять. Все утверждения школьниокм должны быть строго обоснованы. Здесь лучше ему писать цепочку равносильных неравенств. Ссылаться на возрастание синуса от 0 до 90, и т.д. И везде соблюдать равносильность. В принципе, на аппеляции ваше (мне очень понравившееся, очень математическое) решение можно дожать и до 6-7 баллов. Полный балл, скорее всего, не дадут из упрямства.
@vkr122
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov В таком смысле да,! Но у меня все строго обоснованы , просто их долго расписывать и формат коментария получется не очень 😀 (если кому будет интересно , любое действие могу обосновать подробно )
@ald6980
3 ай бұрын
не дадут из упрямства - это уже про самодурство, а не про математику. К задаче отношения не имеет. Но да, если ожидается неадекватность проверяющих, то лучше не провоцировать.
@АлексейСаныч-ц2л
3 ай бұрын
Единицу сразу определил, но не понял, как доказать, что угол при вершине B прямой. Решил посмотреть видео, и как обычно был представлен другой путь )
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо. Я только не понял, а каков ваш первый путь (когда 1 сразу определил)? Интуиция, конечно, замечательная вещь. Она позволяет выдвинуть гипотезу.
@АлексейСаныч-ц2л
3 ай бұрын
Ну геометрический. Проводил отрезок из K на АС, который должен был стать медианой, откуда получал АК=КС=2, прямоугольный треугольник АBК... но угол B не доказал, почему прямой. В уме делал, и сразу не срослось
@ИринаШувалова-т7ц
3 ай бұрын
Если решать с помощью теоремы синусов для АВК и АКС, то получим sin(60-a)/sin(60+a)=sina. Казалось бы нетрудное ур-е, но решить его не получается. Только методом подбора. Пусть знаменатель равен 1 и тогда сразу а=30 град.
@SB-7423
3 ай бұрын
А зачем его решать? Функция f(x) = sin(π/3 -x) убывает на отрезке [0, 1], а функция g(x) = sinx*sin(π/3+x) возрастает на этом же отрезке. Поэтому внутри отрезка может быть только один корень, и он х = π/6. Это, как Вы верно отметили, видно сразу.
@ДмитрийИвашкевич-я8т
3 ай бұрын
@@SB-7423 с функцией g(x) как-то не очевидно, ибо sin(π/3+х) при х>π/6 убывает.
@SB-7423
3 ай бұрын
@@ДмитрийИвашкевич-я8т Умножьте на sinx, и станет возрастать. Если не очевидно, то можно расписать произведение синусов в полуразность косинусов. Будет понятней.
@alexandrsergeevich2929
3 ай бұрын
Со старта уже очевидно решение - построить высоту КВ1. АКС сразу делится пополам и образуются три прямоугольных треугольника (Доказывается элементарно, так же и то что АВК=АКВ1=КСВ1) Ну и дальше по Пифагору - катет корень из 3 и гипотенуза 2, искомый катет 1 Всё, меньше минуты.
@SB-7423
3 ай бұрын
Докажите, пожалуйста, хоть даже сложно. Интересно было бы увидеть.
@Snuryus
3 ай бұрын
Никак вы не сможете доказать, что высота КВ1 делит треугольник на два равных. А если проведете биссектрису КВ1 - то не сможете доказать что она является и высотой.
@alexandrsergeevich2929
3 ай бұрын
@@Snuryus Сам Валерий в начале видео вывел что угол АКВ=АКВ1=60° А КВ1 - высота следовательно она перпендикулярна к АС те. 90° Ну и исходя из того что сумма углов это 180° находим КАВ1=КСВ1=30° как разницу каждую в своём треугольнике.
@Snuryus
3 ай бұрын
С чего вы взяли что КВ1 - высота? В ролике КВ1 - это биссектриса. Угол между ней и основанием треугольника равен углу В. И нет никакой возможности доказать что он прямой. И наоборот, если провести высоту КВ1 - то вы никак не докажите что она делит угол пополам
@SB-7423
3 ай бұрын
@@alexandrsergeevich2929 У автора КВ1 НЕ ВЫСОТА!! Поэтому получились углы по 60 гр. У Вас не выйдет.
@OlegVlCh
3 ай бұрын
А какое решение было дано в материалах олимпиады? Тоже через ур-ние 4 степени?
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Через тригонометрическое ур-ние (через две теоремы синусов и произведение синусов), все сложнее. Думаю, геометрического нет, все жестко.
@OlegVlCh
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov да, тригонометрическое получается короткое, красивое, но когда начинаешь его решать через тангенс половинного угла, опять вылезает уравнение 4 степени...
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
@@OlegVlCh Да, согласен. Попробуйте через синусы: sinasin(60+a)=sin(60-a).
@OlegVlCh
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov так я это уравнение и имел в виду.
@vkr122
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov А как вам решение предложенное в коментарии @illarionpak1607 там правдо тонкое рассуждение изначально не очень внятно изложено , но я проникся и теперь согласен с ним ( по крайней мере не увидил противоречия) . Правда не знаю можно ли его счтитать чисто геометрическим.
@ИванСергеев-т4ч
3 ай бұрын
у оставшегося кубического 3-члена корень х=-2. Это легко подобрать.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Да, это отлично!" Дальше квпдратное D
@valeraag5634
3 ай бұрын
Оставшийся кубический трёхчлен х³ - х² + 12 имеет корень х = -2. ( -2)³ - ( -2)² + 12= -8 - 4 +12 = 0. А чтобы был корень +2, надо изменить трёхчлен: (-х)³ - х² + 12 = -х³ - х² + 12
@ВячеславФоминых-р3г
3 ай бұрын
Если доказать,что треугольник АВВ1-равносторонний,а КВ1-высота треугольника АКС,то очевидно,что ВК=1 Ура,я начал думать. С уважением,Славик(55лет)😂
@adept7474
3 ай бұрын
"Если доказать ,что треугольник АВВ1-равносторонний". Попробуйте это сделать!
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Отлично, вот и мыслите в этом направлении.
@ВячеславФоминых-р3г
3 ай бұрын
@@adept7474 Назовём точку пересечения биссектрисы и ВВ1 точкой О.Тогда треугольник В1ОК подобен треугольнику АВ0.Углы в них 30 60 и 90.=> треугольник АКС-равнобедренный,а КВ1 есть высота и медиана и бессиктриса.=>x=1,т.к.лежит против угла 30°в треугольнике КВ1С,где гипотинуза 2.
@adept7474
3 ай бұрын
@@ВячеславФоминых-р3г"В1ОК подобен треугольнику АВ0". По какому признаку?
@adept7474
3 ай бұрын
@@ВячеславФоминых-р3г "В1ОК подобен треугольнику АВ0". По какому признаку?
@Dmitriy-A
3 ай бұрын
Разворачиваем треугольник ABK вокруг отрезка BK на 180 градусов. получаем некую фигуру AKA1B (3х или 4х угольник ) сумма углов которой будет равна либо 180, если угол B прямой(2 зелёных + 120), либо 360, если угол B не прямой(2 зелёных+ 120 + 2 угла B) градусов. Далее получившуюся фигуру(3х или 4х угольник) разворачиваем вокруг отрезка AK(биссектрисы угла А) на 180 градусов. В случае 4x угольника(угол B не прямой), развёрнутая вокруг AK фигура AKA2B1 будет иметь величину зелёного угла только в том случае, если угол при т. K не будет равен 120 градусам.... А ведь должен после разворота.. В случае прямого угла B развёрнутая фигура AKA2B1.... ...всё, поплыл... сумбурно... не знаю как правильно, но как-то можно прописАть от противного...
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо за идеи.
@user_gn_pm
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov сам результат решения х=1 подсказывает идею наличия геометрического решения: нужно достроить паралеллограм и из вершины угла, противоположного АВС также провести биссектрису. Две биссектрисы разделят сторону ВС на три части, нужно доказать что каждая равна х. из чего и следует, что х=1
@רמי-ל5ב
23 күн бұрын
Вы не правы. Есть такой признак равенства треугольников. По двум сторонам и углу против большей стороны одного треугольника. Но даже и при этом, в данной задаче Вы правы, это тож не пройдёт.
@papa54-y2l
3 ай бұрын
Теорема Чевы и обратное утверждение очевидности. Продлим В1К и АВ до пересечения в точке D, АК до пересечения с DC в точке М. СВ1*√3*DМ=√3*DM*MC→ DM/MC=BD/B1C; АМ биссектриса ∆ADC → (√3+BD)/( √3+B1C) = DM/MC =BD/B1C → BD=B1C; DM=MC; ∆ADC равнобедренный, АМ также высота и медиана,
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Отлично.
@OlegVlCh
3 ай бұрын
Вы в конце не доказали самого главного - что отрезок ВК равен отрезку КМ.
@papa54-y2l
3 ай бұрын
@@OlegVlCh ВК и КМ это 1/3 медиан, в правильном треугольнике все медианы, высоты и биссектрисы равны. Прочитайте внимательно решение:АВ=BD=DM=MC=AB1=B1C=√3.
@OlegVlCh
3 ай бұрын
@@papa54-y2l где показано, что СВ это медиана в получившемся тр-ке?
@papa54-y2l
3 ай бұрын
@@OlegVlCh СВ проходит через центр т. К описанной окружности, т.е. СВ серединный перпендикуляр, а в равностороннем треугольнике ADC CB является и медианой. Не понимаю Вашего непонимания. Величина СВ равна 2*sqrt(3)*sqrt(3)/2 = 3, KC=2, BK=1. KB1 = 1, KM=1 и т.д.
@valentinkaminskiy3826
3 ай бұрын
не только лучшего канала, а еще от лучшего преподавателя. Горжусь соотечетсвенником!
Пікірлер: 174