Le PDF que je présente dans la vidéo : 👉 drive.google.com/file/d/1WF41mBUncMkSp1rdBJD37Fg4qBLrWCsp/view?usp=sharing La musique de fond de cette vidéo (composée par mes soins) est disponible sur ma chaîne musicale : 👉 kzitem.info/news/bejne/woCb1GqCkJOpaKw REMARQUES : - L'ensemble des nombres décimaux (D) n'est pas construit ici car il ne s'agit que d'une partie très spécifique de l'ensemble des nombres rationnels, où le dénominateur rendu positif est une classe d'équivalence d'une puissance de 10. - Pas besoin de construire R avec des classes d'équivalence de Dedekind (contrairement à ce que je dis), on peut simplement ajouter une condition supplémentaire pour ne pas générer deux fois chaque nombre réel rationnel. - On n'utilise pas les axiomes de Fraenkel mais seulement ceux de Zermelo.
@mariaquenelle
29 күн бұрын
Toujours les ptites musiques pour chaque vidéo, c'est incroyable 🎉🎉🎉
@Faxbable
28 күн бұрын
Dire que je ne te connaissais que de nom (grâce à un certain Axel Arno) et que je ne te découvre qu'aujourd'hui dans cette vidéo, bravo pour sa qualité et sa rigueur ! Dommage de ne pas parler de cardinaux, mais tiens, petite question pour laquelle j'aimerais avoir on avis quand même : l'hypothèse du continu est-elle pour toi un "indécidable absolu" (ce que j'ai du mal à concevoir mais je suis peut-être un peu trop platonicien) ou bien est-elle nécessairement soit vraie soit fausse ? (même s'il est prouvé qu'elle ni prouvable ni réfutable dans ZFC)... et mon point de vue est qu'elle serait plutôt fausse ...)
@medematiques
28 күн бұрын
@@Faxbable Merci beaucoup ☺️ Il y a plein de choses que j'ai laissées de côté dans cette vidéo car elles étaient inutiles à la construction des complexes, mais je parle (vaguement) des cardinaux et de l'hypothèse du continu dans le premier épisode... En ce qui me concerne je suis aussi assez platonicien dans le sens où je crois en un "monde immatériel des idées", mais je ne crois pas pour autant qu'il existe de vérité absolue en mathématique (sauf éventuellement si l'assertion se traduit par une implication, ce qui n'est pas le cas de l'hypothèse du continu). Je crois qu'il faut toujours se placer dans une théorie (ou un système axiomatique) pour s'assurer de la véracité ou non d'une assertion... Ce qui constitue d'ailleurs une grande différence avec la physique, qui elle affirme des vérités générales sur notre monde...
@Faxbable
28 күн бұрын
@@medematiques Alors je ne t'en voudrais pas si tu ne réponds pas (mais ne te gêne pas, toi qui passe par là et me lis ;) car on sort du sujet de base mais 1) Je suis évidemment d'accord avec le fait que la véracité d'une assertion est dépendante du système axiomatique. Exemple classique : pour un point et une droite fixés, y a-t-il nécessairement une et une seule droite parallèle à la première ? La réponse est trivialement 'Vrai' en géométrie euclidienne puisque l'assertion en question est un axiome de la géométrie citée, et cette réponse sera clairement 'Faux' en géométrie hyperbolique 2) Mais il me semble qu'en rappelant cette "évidence" on est à côté du débat qui se pose avec d'autres questions comme celle de l'hypothèse du continu. Certes on pourrait ajouter cette hypothèse ou sa négation pour étendre ZFC sans contradiction en une théorie "moins incomplète" que ZFC. Et certes on ne le fait pas, car cet axiome serait tout claqué, pas naturel. Mais sans pouvoir l'expliquer vraiment (et c'est peut-être là où je me plante totalement), il me semble que contrairement à l'exemple des trois modèles de géométrie (euclidienne, riemanienne, hyperbolique), l'ensemble des réels admet une représentation suffisamment claire et inambigüe pour qu'elle n'admette qu'un seul modèle possible (ou en tout cas qu'un seul type de modèle) dans lequel un sous-ensemble indénombrable, même non trivial, peut être mis en bijection ou pas avec R, et ce, même si ZFC ne peut le démontrer pour chacun. Et ce, même si on ne trouvera jamais d'axiome "naturel" convainquant à adjoindre à ZFC pour la prouver ou la réfuter (c'est en ce sens que JP Delahaye parle d'indécidable absolus, et là je veux bien le concevoir). Mais dans l'absolu, justement, comment cette réponse ne pourrait avoir de réponse binaire claire et précise ? Après tout, les notions de réels, sous-ensembles et bijections sont clairement définies ! Et après tout, certains théorèmes ne parlant que de nombres entiers ne sont pas démontrables dans l'axiomatique de Peano, ce qui n'en fait pas moins des énoncés VRAIS... 3) Sinon tu dis « il n'existe pas de vérité absolue en mathématique sauf éventuellement si l'assertion se traduit par une implication, ce qui n'est pas le cas de l'hypothèse du continu » et là j'avoue que je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire puisque n'importe quelle assertion peut être écrite sous forme d'implication, non ? [Soit E un sous-ensemble de R de cardinal ni fini ni dénombrable. Alors E peut être mis en bijection avec R.]
@medematiques
28 күн бұрын
@@Faxbable 2) Justement la frontière entre ce qui est ambiguë et ce qui ne l'est pas me paraît flou... Le 5ème postulat d'Euclide est indécidable dans la théorie formée par les 4 autres, au même titre que l'hypothèse du continu dans ZF. Dans les deux cas, ajouter l'axiome ou non dans la théorie rend celle-ci plus complète, et je vois pas pourquoi l'on devrait distinguer les deux cas. 🤷♂️ Peut-être est-ce plus une histoire de vocabulaire, "hypothèse" VS "postulat" VS "axiome" ? 3) L'hypothèse du continu ne se traduit pas sous la forme d'une implication, puisqu'il y a des quantificateurs en dehors de l'implication. Le "soit E" traduit un "pour tout". En revanche l'assertion suivante se traduit par une implication : [Si je mange de la viande, alors je mange de la viande] Bon ici c'est même un exemple de tautologie... 🙃
@GillesLeBourhis
28 күн бұрын
Affirmation discutable, mais si l'on se contente de ZF stricto sensu, le nez des les axiomes, cette affirmation peut être comprise . Dans la théorie des ensembles, toutes le variables sont des ensembles, y compris les éléments... Ce qui n'est pas vraiment le cas dans les "mathématiques de tous les jours". Tout dépend du *modèle* que l'on utilise. Les constructions des nombres dans ZF(C) ont pour but d'établir que ZF(C) fonde l'arithmétique (de Peano) et l'analyse d'Hilbert. Cela permet d'obtenir un modèle de ces dernières. On démontre qu'à partir de ZF(C), on peut reformuler l'arithmétique de Peano et donc, en reprenant le schéma de cette arithmétique, dont IN est par définition un modèle standard (dans un univers de Grothendieck raisonnable), Z est le modèle des entiers relatifs obtenus par extension (anneau universel engendré par le semi-anneau IN). On n'est pas obligé de s'accrocher à cette construction ensembliste de l'arithmétique et de l'analyse dans ZF(C), car dans ce cadre, on préfère la plupart du temps travailler dans un modèle standard, donné à isomorphisme près, auquel cas, dans ce modèle, l'inclusion peut camoufler un morphisme structurel canonique mais n'est pas un abus de langage car c'est encadré par le modèle utilisé. La construction des complexes par rapport à IR peut se faire par plein de pleins de modèles distincts, on identifie alors IR à un sous-ensemble de ce modèle et cette identification, donnée par un isomorphisme de corps est une inclusion, bien qu'a contrario, il existe dans C une infinité non dénombrable de sous-corps (si l'on accepte l'axiome du choix), tous isomorphes à IR, faisant de C une extension de degré 2 sur chacun de ces derniers. Ce n'est pas pour rien que l'on a crée une théorie des corps réels. La théorie des ensembles nous dit simplement qu'elle est en capacité, si elle est consistante, de fonder l'arithmétique et l'analyse. Enfin, pour tout cardinal infini c, il existe un modèle de l'arithmétique de cardinal c, même si c n'est pas dénombrable (on dira alors "méta-non-dénombrable" car cette non-dénombrabilité est externe au modèle)... Mais dans ce modèle, il y a dénombrabilité, par définition. Il n'existe pas de système axiomatique pour décrire de manière univoque et sans ambiguïté l'arithmétique de IN (premier théorème d'incomplétude de Gödel). Peano ne permet pas de différencier les entiers standards des non-standards, ce que ZF(C) arrive "mieux". Cela ne sera jamais satisfaisant, sauf à se restreindre à un univers raisonnable. Pire, si l'arithmétique de Peano est consistante, elle est oméga-inconsistante : malgré la pauvreté de cette arithmétique, il existe un modèle non-standard de l'arithmétique et un entier non-standard dans ce modèle qui permet de coder la démonstration que 0=1 dans l'arithmétique de Peano). Autrement dit, il existe une démonstration "infiniment longue" d'un point de vue standard, (donc inacceptable dans IN), dans l’arithmétique de Peano que 0=1... La consistance de l'arithmétique, si on en accepte le principe, fait que 0=1 est impossible dans un modèle standard IN. Cette omega-inconstance fut pour Gödel le résultat "le plus monstrueux", selon lui qu'il découvrit. Autre résultat étrange : s'il existe dans l'arithmétique une démonstration que la conjecture de Goldbach est indécidable, alors elle est vraie (la valeur de vérité n'est pas un résultat interne de l'arithmétique mais de la logique encadrant l'arithmétique). C'est une propriété étrange que possède le cadre logique de l'arithmétique. C'est à travers ces différents aspects que l'on voit toute la limite des systèmes axiomatiques, qui sont les moins pires pour construire des mathématiques. On a tous philosophiquement une idée pré-établie de ce qu'est un entier naturel, mais les mathématiques échouent et échoueront toujours (Gödel l'a prouvé), à en donner une définition dépourvue d'ambiguïté. Même s'il on arrivait à étendre nos règles de raisonnement, intégrant des preuves non finies, ou autre, ces extensions conduiront probablement à des crises et des paradoxes, comme le présage l'oméga-inconsistance. Pour comprendre dans la vie d'un mathématicien, qui est finie par principe, ce que pourrait être une démonstration classiquement infinie, si l'on peut coder les démonstrations de l'arithmétique sur une machine de Turing et par principe, construire des algorithmes de vérification des démonstrations, on pourrait rêver de penser à des machines de Turing "quantiques" et donc à des démonstrations "quantiques"... fantasme qui s'effondre par la simple idée de l’oméga incomplétude. On n'est pas sorti de l'auberge !
@mariaquenelle
29 күн бұрын
Franchement une vraie CLAQUE cette vidéo ❤❤❤ j'avais déjà entendu vite fait parler de tout ça mais le découvrir de façon aussi concrète je trouve ça DINGUE, bravo pour cette vidéo !!!
@pinkunicorn9173
Күн бұрын
Woaw une vraie claque cette vidéo j'avoue ! 😱👏👏👏
@medematiques
Күн бұрын
@@pinkunicorn9173 Merci ! 😁
@nonoroberto8219
24 күн бұрын
Merci infiniment pour cet effort de vulgarisation passionnant !
@corbonmaths9597
Ай бұрын
Bravo ! Très beau travail, merci à vous.
@cycygamingfrenglish
Ай бұрын
JAI ATTENDU CA DEPUIS LONGTEMS
@mmb6545
29 күн бұрын
Vidéo très intéressante! C'est pas courant de voir la construction des ensembles R et C sous ces angles
@yobg6663
Ай бұрын
45 minutes de plaisir!! bonne vidéo à tous!! 🤩
@clmasse
Ай бұрын
Dire que les entiers naturels ne sont pas des relatifs, c'est un peu comme dire que les classes d'équivalence de bipoints équipolents ne sont pas des vecteurs, puisque les vecteurs sont des ntuples de réels, la construction est différente. Les entiers ne sont pas définis par leur construction, mais par leur structure, càd les propriétés satisfaites par leurs lois de composition. N est un monoïde pour l'addition, Z est un groupe qui est l'extension de N par ajout des opposés. La constructibilité, où l'existence comme il est dit, est un concept philosophique, pas mathématique. La construction sert seulement à démontrer que l'arithmétique est logiquement compatible avec la théorie des ensembles, ou que les nombres existent dans la théorie des ensembles.
@medematiques
Ай бұрын
"Les entiers ne sont pas définis par leur construction" : si, c'est ce que j'essaye de montrer dans cette vidéo. Peu importe les isomorphismes de structure, ce n'est pas le sujet, puisque je ne m'intéresse ici qu'aux égalités.
@clmasse
Ай бұрын
@@medematiques C'est une position philosophique.
@clmasse
Ай бұрын
@@medematiques En mathématiques on définit les entiers comme un ensemble, avec une table de composition pour l'addition, la multiplication et autre. Ça suffit pour les déterminer uniquement. Ensuite on peut voir que certaines constructions possèdent cette structure, il peut y en avoir plusieurs. La plupart des objets et des structures sont construits avec des classes d'équivalence, donc en fonction de caractéristiques et pas comme un être précis. Ces caractéristiques suffisent à les manipuler, on n'a pas besoin de connaître leur nature. Les mathématiques ne sont qu'un édifice logique, il n'y a pas de réalité, d'existence, d'égalité, bref, d'ontologie, seulement des relations logiques comme justement l'isomorphisme. Elles fonctionnent pas l'abstraction, pas par des constructions particulières.
@medematiques
Ай бұрын
@@clmasse Je ne crois pas que ce soit une position philosophique ; c'est plus une question avec une dimension pédagogique. Mais en réalité, je vois plutôt ça comme une non-question, car les objets que je présente dans ma vidéo sont ceux qui ont été historiquement construits ainsi et ceux qui sont à la base de tout ce qu'on manipule au quotidien sans s'en rendre compte. Le reste n'est qu'abus de langage. Quand on dit "N inclus dans Z", on parle effectivement d'une structure isomorphe à N mais qui n'est pas N, c'est donc un abus de langage ; et c'est donc, lorsqu'on s'intéresse à ZF, factuellement faux. Après vient le jeu des définitions... Qu'est-ce que N, finalement ? On peut aussi inventer ses propres notations et dire que N, c'est une matrice de taille 3x3 diagonalisable. Mais dans ce cas c'est le même problème que les multiples constructions possibles des objets mathématiques, et il faut bien poser des conventions. Dans ma vidéo, je pose N ainsi. Et donc de fait, par construction, N n'est pas inclus dans Z. 🤷♂ Mais si tu poses N comme "l'ensemble des entiers relatifs positifs", alors là oui... Mais comment construis-tu Z, dans ce cas ?
@clmasse
29 күн бұрын
@@medematiques On utilise les entiers naturels depuis des millénaires, les mathématiques ont commencé par la gestion. Ici le problème est différent, on cherche une réalisation des nombres dans un système axiomatique donné. Et si dans un autre système axiomatique N est inclus dans Z, alors quelle est la vraie construction? Cette question n'a pas de sens, puisque nous sommes justement dans des systèmes différents. L'arithmétique a son système axiomatique propre, le but de la manœuvre c'est de l'exprimer à partir d'un autre système, et il peut y avoir plusieurs manières différentes de le faire, comme il y a différentes façons d'obtenir un espace vectoriel, alors que tous les espaces vectoriels réels de dimension donnée sont les mêmes. Ça n'a aucun intérêt ni aucun sens de dire: c'est celui-là le véritable et tous les autres des copies isomorphes.
@vinceguemat3751
28 күн бұрын
J'ai un livre de maths qui défini l'ensemble des entier naturel N comme l'ensemble non vide munie d'une relation d'ordre qui respecte les 3 critères suivants : 1) toute partie de N admet un minimum 2) toute partie non vide et majorée admet un maximum 3) N n'est pas majoré dans N Avec ca on peut recrée toute l'arithmétique de N
@gwpiaser
23 күн бұрын
DEuxième vidéos de la chaine que je regarde, deuxième très bonne vidéo. J'ai une question de béotien, j'ai cru comprendre que l'on avait besoin de la logique du second ordre pour construire l'arthmiétique de Peano, dans la vidéo où est qu'elle est ncéessaire dans la construction ?
@medematiques
23 күн бұрын
@@gwpiaser Merci ! C'est sûrement de la chance, espérons que les vidéos suivantes suivent cette tendance ! 😂 On n'a me semble-t-il pas besoin du second ordre pour construire l'arithmétique de Peano, cependant on en a besoin pour considérer un nombre fini d'axiomes. La logique du second ordre permet de voir les schémas d'axiomes (comme le schéma d'axiomes de compréhension restreint que je présente dans ma vidéo) comme un seul et unique axiome. Ce que je dis est toutefois à prendre avec des pincettes car il y a peut-être des subtilités de la logique d'ordre supérieur que je n'ai pas encore saisis... 🤷♂️
@perpetgholl5742
27 күн бұрын
ca a l'air tellement compliqué, bravo a vous, il faut etre vachement intelligent pour comprendre tout ca. bravo a vous, je voudrais trop etre aussi intelligent que vous.
@titouanleclercq917
Ай бұрын
"N inclus dans Z inclus dans Q inclus dans R c'est faux" -> C'est une mauvaise remarque, tu peux tout à faire créer des constructions permettant de rendre ça vrai. Si tu choisis une construction de tes ensembles de nombres qui rend ça faux, c'est tant mieux pour toi mais ça ne suffit pas à invalider l'assertion initiale. Quand on décide de parler de N, Z, Q et R, ou de tout objet du genre, on parle en réalité toujours de classe d'isomorphisme, et on ne s'intéresse jamais à ce qu'il y a réellement dans le sac N ou dans le sac Z, puisque c'est les propriétés opératoires de ces objets qui comptent. Si tu veux construire Z comme {2^n} U {3^n} et décréter que Z est inclus dans N, ça ne changera pas que ce dont on parle est largement différent. Si on décide de faire preuve du minimum de charité intellectuelle nécessaire pour faire des maths, on comprend qu'il y a deux processus mathématiques distincts en jeu : - la construction ascendante, qu'on peut considérer comme un réductionnisme permettant de ne garder que les axiomes de ZFC pour étudier n'importe quelle structure de nombres - la construction descendante, de considérer que la structure de N (resp Z, Q) est une sous-structure de R, permettant de se plonger à tout moment dans un ensemble de nombres plus grands. C'est exactement le même phénomène qu'on peut voir quand on construit un corps de rupture dans Q : on sait déjà que Q[sqrt2] existe si on en prend une partie de R, mais la construction générale nous permet de montrer que cette structure est indépendante du plus grand corps, càd qu'on peut lui donner une valeur intrinsèque. Dans le cas des nombres, on montre juste que N n'a pas besoin du surensemble R pour exister, mais ça n'empêche que prendre N comme la partie de R isomorphe à l'ordinal omega est parfaitement valide. Et si vraiment tu veux jouer au pédant extrême, tu peux toujours décider que, par exemple, Z = (N²/~ \ { cl(n,0) | n € N }) U N et définir tes opérations à partir de là, puis pareil pour Q et R où chaque fois tu remplaces la partie isomorphe à l'ensemble de départ par l'ensemble de départ lui-même.
@medematiques
Ай бұрын
D'accord, mais les constructions usuelles dans ZF sont bien celles que je présente, et donc de fait les inclusions sont fausses. Bien sûr on peut voir N comme une sous-structure de Z, mais ce n'est plus le même N. Isomorphe ou pas, ce n'est pas la question, puisqu'ici je ne m'intéresse qu'aux égalités. 😉 Donc ma remarque est bonne par rapport au contenu que je présente dans ma vidéo.
@titouanleclercq917
Ай бұрын
@@medematiques Tu n'as pas compris mon propos. Tu as fait un choix, dans ta vidéo, de présenter certaines constructions. Le problème c'est que quand on parle de N, Z etc., on ne parle pas d'un ensemble précis, on parle d'une idée de structure dont on vérifie en outre qu'elle possède une implémentation en théorie des ensembles. Quand je parle d'isomorphisme, c'est justement pour te dire que la définition même de N, Z etc est invariante par isomorphisme : personne n'a jamais statué que N devait être le plus petit ordinal ou que Z devait être le symétrisé de N. Si on voulait caractériser N, Z etc., ce serait avant tout par leur structure, en trouvant une théorie catégorique (donc en général du second ordre) sur les "ensembles de nombres" habituels. Un exemple typique : personne de sérieux ne dit que C est au choix R² ou R[X]/(X+1) mais que l'un ne peut pas être assimilé à l'autre. Aussi parce que personne de sérieux ne travaille de façon aussi peu structurelle. Et au niveau de "constructions usuelles", la construction avec Z = N + N est largement préférée par les gens qui veulent étudier en détail des notions logiques pour le passage de N à Z. L'intérêt de la construction par quotient c'est avant tout de pouvoir la placer dans un cadre plus général avec la symétrisation d'un monoïde.
@titouanleclercq917
Ай бұрын
@arthur-godart J'avais l'exemple de Z inclus dans N, plus haut, que j'avais trouvé pour embêter des sups. Sinon j'ai l'impression que juste dans la vidéo, on a quelque chose de particulier avec 0_Z : comme c'est l'ensemble {(n,n) | n € N} et que (n,n) = {n,{n}} = S n, on se retrouve avec N* € Z, ou quelque chose du genre.
@titouanleclercq917
Ай бұрын
Non en fait j'ai fumé du mauvais shit je crois, pour le = S n. En tout cas en mettant un coup d'union sur 0_Z on doit avoir un ensemble particulièrement pathologique.
@medematiques
29 күн бұрын
@@titouanleclercq917 Oui, j'ai bien dit que j'avais fait ces choix. Cependant il faut bien poser des notations pour rendre les choses lisibles. Donc si, il est tout à fait sérieux de définir C comme R² ou comme R[X]/. Dire que ce n'est pas sérieux ou que "N+N est largement préférée", ce sont vos propos qui ne regardent que vous, mais je ne me suis jamais laissé aller au doigt mouillé dans ma vidéo. Je ne suis que factuel. 😉
@gwpiaser
6 күн бұрын
comme prochain titre second degré je propose "Voici les neuf axiomes de la théorie ZFC, le 6ème va vous étonner".
@fabriceaxisa
29 күн бұрын
cela me rappelle ma jeunesse
@mythix3154
Ай бұрын
Je pensais c’était Axel Arno avec la mania 😅
@goblin5003
29 күн бұрын
23:38 est-ce qu’il n’y aurait pas une coquille au niveau de 6.1.1, au troisième tiret? L’union devrait se faire sur les A dans R pour reconstituer E
@medematiques
29 күн бұрын
Oui en effet, bien vu 👍
@goblin5003
29 күн бұрын
@@medematiques 26:40 J’en profite pour signaler que le titre de la section 6.2.3 est « Corollaire d’existence et d’unicité de la somme » au lieu du produit
@goblin5003
29 күн бұрын
27:19 Et dans la remarque de la section 6.2.4, il y a écrit « A X B est bien défini » au lieu de A•B
@goblin5003
29 күн бұрын
27:38 pour la section 6.4.2. ici ça a l’air plus délicat donc peut être que je me trompe: est-ce qu’il ne faudrait pas prendre dans la définition de R_(A,B) que (A,B) soit dans Z* x Z? L’idée étant que je veux que x/y = B/A donc il faut que A soit non nul (et non pas B) Sinon j’ai l’impression que 0 n’est pas un rationnel car on ne peut pas obtenir {0}x Z* comme un certain R_(A,B) Ou sinon on peut échanger la place de A et B dans l’égalité qui définit la relation d’équivalence (B•x = A•y)
@eknight1364
29 күн бұрын
Bonsoir, au 3.2.4, pourquoi N doit-il appartenir à M et pas lui être inclus ?
@medematiques
29 күн бұрын
C'est effectivement une coquille que j'ai oublié de corriger, bien vu ! 🥲👍
@foxypiratecove37350
29 күн бұрын
Y'aurait moyen d'avoir le code source LaTeX juste pour apprendre à faire des documents LaTeX aussi cali que ça ?
@medematiques
23 күн бұрын
Oui tu peux venir sur mon serveur Discord pour le demander 😉
@foxypiratecove37350
23 күн бұрын
@@medematiques Merci je vais sûrement y aller voir 👍
@Sherlock-e7n
29 күн бұрын
3.1.3) pourquoi est-ce que la proposition intérieure contient un ssi? on peut avoir x dans C sans que C ne soit dans notre famille A non?
@telwen1566
Ай бұрын
Ce qui est fascinant avec les mathématiques c'est que tu fais toujours face à des remises en question. Par exemple, quand tu apprends à compter, on te présente uniquement les entiers naturels. Et puis après, bam, tu apprends qu'il existe des nombres avec des virgules et des nombres négatifs. Et puis encore une fois, tu apprends que la racine carré est défini que pour les nombres positifs, mais un jour, on te dit que la racine carré de -1 est i ! Et puis aussi, si les mathématiques t'intéresses tu apprends que le 0 des naturels et le 0 des nombres réelles sont en fait différent. Ça, c'est génial, c'est une remise en question constante et qui fait rêver :).
@mariaquenelle
29 күн бұрын
Tellement d'accord 😌 c'est ce que j'ADMIRE tellement dans cette matière ❤️❤️❤️
@telwen1566
29 күн бұрын
@@mariaquenelle Et ca s'arrête jamais ! Il y a toujours a faire !
@lusagusaquarium9037
Ай бұрын
Axel Arno
@medematiques
Ай бұрын
@@lusagusaquarium9037 lil sanni
@pascalneraudeau2084
28 күн бұрын
Question : est-ce que la ''frontière"" d'un ensemble fait 'partie' de cet ensemble ? (ne serait-ce qu'en tant que descripteur, constructeur, définisseur) ... si non, alors l'{ vide c'est une boite avec rien dedans ... et l'8 a un "constructeur" qui ne peut pas exister ... alors l'8 n'existe pas. ... mais si je dirais que oui alors l'ensemble vide n'existe pas ... et l'infini n'est pas un ensemble. . ZF ça ne fonctionne pas, elle ne fait que rassurer nos petites boites crâniennes (enfermées) . Merci pour tes vidéos, tu es comme un navire qui m'emmène en voyage dans des dimensions perpendiculaires.
@medematiques
28 күн бұрын
Qu'est-ce que vous appelez "frontière" d'un ensemble ? ZF fonctionne bien plus que ce qu'on peut lire dans cet espace commentaires... 😉
@pascalneraudeau2084
28 күн бұрын
@@medematiques "frontière"? ... Quand on nomme quelque chose, on se positionne à l' "extérieur" ... cette chose n'est pas vide de 'contour' (de définition = frontière). ce n'est pas qu'il n'y a rien à l'intérieur d'un point géométrique, et personne ne remet ça en question ... c'est que l' "intérieur" (l'essence) d'un point est le point lui même. . de toutes façons, soit l'infini n'existe pas, soit il n'est pas un ensemble ... pourtant l'axiome de l'infini est une base solide de ZF ...
@medematiques
28 күн бұрын
@@pascalneraudeau2084 Ok mais lorsque l'on parle de frontière, c'est uniquement en topologie. On ne peut pas parler de "frontière" sans préciser la topologie dans laquelle on travaille. Donc si dans une topologie un ensemble est fermé, alors la frontière est bien incluse dans l'ensemble. Sinon non. Pour l'infini, qu'appelez-vous "infini" ? Les travaux de Cantor, Fraenkel et Poincaré sur les ordinaux prouvent bien que les infinis existent (grâce au schéma d'axiomes de remplacement) dans ZF, ce sont donc bien des objets de la théorie, donc des "ensembles".
@pascalneraudeau2084
28 күн бұрын
@@medematiques un ensemble "ouvert" ? ... c'est plus un ensemble ! et pour la diagonale de Cantor, c'est tout au plus un algorithme de construction de "quelque chose" .. d'ouvert (oui) .. mais qui n'est pas un Ensemble (peut-être une définition du temps...)
@pinkunicorn9173
Күн бұрын
@@pascalneraudeau2084 un ensemble ouvert est un ensemble. affirmer le contraire est aussi stupide que de dire qu'une poubelle vide n'est plus une poubelle ptdr
@LeGnocchi
Ай бұрын
Le symbole de l'inclusion "⊂" est-il utilisable pour deux ensembles égaux, ou faut-il forcément utiliser le symbole "⊆" ?
@cycygamingfrenglish
Ай бұрын
il faut
@azzaaaaargg3798
Ай бұрын
si tu mets pas le égal ça veut dire que c'est pas égal. par contre si un ensemble est strictement inclus dans un autre alors il est inclus ou égal, un peu comme les inégalités ;)
@medematiques
Ай бұрын
@@azzaaaaargg3798 Ça dépend des pays 😉 en France ça peut être égal, mais pas en Angleterre.
@cycygamingfrenglish
Ай бұрын
@@medematiques comme en anglias 0 n'est pas positif
@medematiques
Ай бұрын
@@cycygamingfrenglish Exact 👍
@faldang8457
29 күн бұрын
La théorie ZF, c'est vraiment zehef
@log_cocycle
Ай бұрын
tu ne sembles pas être un amateur des abus de notation... :-)
@medematiques
29 күн бұрын
@@log_cocycle Non clairement pas 🥲
@PhilHansen-rv9lq
29 күн бұрын
N'importe quoi, il est possible de plonger l'ensemble des naturels dans l'ensemble entiers relatifs en construisant une bijection d'un sous-ensemble de Z dans N.
@medematiques
29 күн бұрын
@@PhilHansen-rv9lq Oui, qui a dit le contraire ? 🤔
@PhilHansen-rv9lq
29 күн бұрын
@@medematiques Vous en prétendant que le diagramme d'inclusion était faux.
@medematiques
29 күн бұрын
@@PhilHansen-rv9lq Le diagramme d'inclusion est faux. Cela n'a aucun rapport avec les bijections. 😉
@PhilHansen-rv9lq
29 күн бұрын
@@medematiques Il est d'usage que confondre un élément avec sa classe d'équivalence. Cela se fait tout le temps. La sous partie de Z qui s'identifie à N est bien incluse Z.
@medematiques
29 күн бұрын
@@PhilHansen-rv9lq Oui, mais ce n'est pas N dans la construction de ZF. 🤷♂️
@josephmathmusic
29 күн бұрын
Du coup si on utilise des complexes en physique on utilise des polynomes.
@medematiques
29 күн бұрын
En effet cette implication est vraie. Mais puisque la prémisse est toujours fausse, cela n'a pas un grand intérêt 🤷♂️
@josephmathmusic
29 күн бұрын
Pas de complexes en physique quantique?
@medematiques
29 күн бұрын
@arthur-godart Ce n'est pas de la physique, mais des maths 😉 il faut aller voir ma vidéo sur les polynômes en physique pour comprendre...
@josephmathmusic
29 күн бұрын
Boucher les trous qu'il y a dans Q
@jean-louisbarrette4940
Ай бұрын
Fiirrst
@cycygamingfrenglish
Ай бұрын
non c médé et moi je suis second
@jean-louisbarrette4940
Ай бұрын
@@cycygamingfrenglish mince
@dominiqueubersfeld2282
Ай бұрын
Encore un pseudo mathématicien qui joue dans la même ligue que Terrence Howard !!
@Mrsdemx64
29 күн бұрын
@@dominiqueubersfeld2282 en quelle honneur tu te permet de critiquer sa thèse ?
@medematiques
29 күн бұрын
@@dominiqueubersfeld2282 Encore un hater qui a passé une mauvaise journée et qui profite de l'anonymat que lui procure internet pour cracher gratuitement sur un honnête étudiant qui a passé 2 semaines à fournir un travail 100% original et qui essaye de partager bénévolement sa passion sans aucune prétention et en prenant le risque de mettre ses études en pause pour tenter d'offrir une instruction scientifique aux personnes volontaires !
@mariaquenelle
29 күн бұрын
@@medematiques Meilleure réponse de L'UNIVERS !!! 🤣🤣🤣
@medematiques
29 күн бұрын
@arthur-godart Absolument pas ; j'ai tout appris en totale autonomie. Tout ce que je présente dans ma vidéo, on ne voit pas ça avant la M2. Quant à la rédaction du LaTex, j'ai fourni tout le travail. Mais ce n'est pas un concours de celui qui a fourni le plus gros pourcentage de travail... 🙃
@medematiques
29 күн бұрын
@arthur-godart C'est totalement du hors-programme en maths sup. Quand je dis "travail 100% original", je ne dis pas que j'ai tout inventé, je dis que je n'ai repris aucun travail déjà existant. Je ne suis d'ailleurs pas sûr d'avoir déjà vu un document en français qui parle de ça. 🤔
@titouanleclercq917
Ай бұрын
A 11:37, pour le théorème d'intersection, je crois que ta formule a un problème. Si je prends des instances de A et x, je veux donc que x € B ssi pour tout C, C € A x € C. Donc dans un ses, ça me dit que x € C => C € A. Sauf que dans ce cas, je peux bien trouver un certain C tel que x € C et C notin A : je peux prendre par exemple A U C si j'ai l'axiome de fondation. Du coup ton équivalence est fausse pour au moins un C, donc x € B étant équivalent à ton "pour tout" qui est faux, ça te dit que x n'est pas dans A. Normalement on met juste une implication C € A => x € C, et on prend A non vide puisque l'intersection vide c'est la classe de tous les ensembles.
@medematiques
Ай бұрын
Oui ce n'est qu'une implication 👍 Merci ça fait partie des coquilles corrigées.
@titouanleclercq917
Ай бұрын
A 16:00, petit souci : d'habitude on écrit que (a,b) c'est {{a},{a,b}} et non {a,{a,b}}. Le premier permet d'éviter de réfléchir à ce qu'il y a dans a, là où dans le deuxième cas la forme de a peut entraîner des problèmes.
@medematiques
Ай бұрын
@@titouanleclercq917 Je n'avais jamais vu cette définition auparavant, mais je viens de vérifier et les deux sont possibles... 🤷♂️
@ceytixg2508
29 күн бұрын
@@medematiquesgrâce à l'axiome de fondation peut-être ?
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