Ça fait 10 ans que j'ai fait la prépa, et cette vidéo m'a redonné des souvenirs 😂. Effectivement diabolique cet exo.
@nazizismail8229
2 жыл бұрын
J’adore ton travail ! Bon courage pour la suite et surtout ne t’arrête pas !
@aissamokhtari4005
Жыл бұрын
Un grand hommage pour monsieur Smith.L'exercice est vraiment une perle rare,chapeau.Merci aussi a vous de nous le faire decouvrir.
@latarte3931
2 жыл бұрын
❤️🙏🙏 Merci! En effet, dès que l'on utilise les 2 idées, le reste ça se résous tout seul. C'était cool aussi de s'être arrêté sur la preuve de n = somme φ(d); d/n. Je connaissais une autre preuve mais celle-ci est plus succincte (comme quoi même si on connaît certains grands résultats, démontrer les trucs en live permet aussi de voir d'autres façons de faire, parfois plus efficaces).
@vegetossgss1114
Жыл бұрын
les maths c'est juste magnifique!!!! Wow! très bien expliqué, bravo!
@nefta2240
Жыл бұрын
Extraordinaire simplicité qd tu le montres
@psylonmusic5264
Жыл бұрын
J'aime pas l'arithmétique mais cet exo est particulièrement stylé. J'avais trouvé la réponse avec un peu de python mais j'aurais eu aucune idée de comment démontrer ça.
@psylonmusic5264
Жыл бұрын
Est-ce que tu sais s'il aurait été possible d'utiliser la formule de phi sous la forme d'une transformée de Fourier discrète ?
@mehdielabdaoui1955
10 ай бұрын
Magnifique cette vidéo.
@complexquestion3601
Жыл бұрын
Super exercice. Avec quelques manipulations de colonnes on peut avoir assez facilement l'intuition de la solution, et je pense qu'on peut faire la démonstration exclusivement avec ces manips. Je note d_n le déterminant de Smith pour n. Si on retire la colonne la plus à gauche (avec que des 1) à toutes les autres colonnes, on voit directement que si p premier, d_p = (p-1)d_p-1 (je l'ai vu en écrivant la matrice modifiée pour p=5). Après ça, il est assez naturel de regarder pour n=p^k, et en creusant un peu on trouve d_p^k = (p^k - p^(k-1)) (il faut soustraire la colonne pour p^(k-1) à la dernière colonne) ce qui pointe fortement vers l'indicatrice d'Euler. Le problème c'est que le cas avec plusieurs diviseurs premiers est beaucoup plus difficile ! Je suis pas allé jusqu'au bout du bout de la démonstration, mais je suis quasi sûr que la solution est d'ajouter/soustraire à la dernière colonne les colonnes correspondant aux diviseurs stricts m de n tels que m/n est un produit de nombres premiers distincts (c.a.d les exposants dans la décomposition en facteurs premiers diffèrent au plus de 1 entre m et n). Il faut ajouter ou soustraire selon la parité du nombre de diviseurs premiers de n/m. Par exemple, pour n=12, il faut soustraire la colonne pour 6 (12/6=2, 1 diviseur premier), soustraire la colonne pour 4 (12/4=3, 1 diviseur premier), et ajouter la colonne pour 2 (12/2=2*3, deux diviseurs premiers), mais ne rien faire avec la colonne pour 3, car 12/3=2^2. Ca permet d'annuler toutes les valeurs de la dernière colonne, sauf celle tout en bas à droite qui vaut alors phi(n). L'intuition pour ces manipulations de colonnes vient de la formule pour l'indicatrice (en développant le produit des (p_i^a_i - p_i^(a_i - 1)).
@MathsEtoile
Жыл бұрын
C'est très technique mais la manière dont tu le présentes est très convaincante, ça m'étonnerait pas qu'on puisse écrire ta preuve complètement ...
@Max-dl4ly
Жыл бұрын
Merci
@complexquestion3601
Жыл бұрын
@@MathsEtoile Je confirme que cette méthode marche et la preuve est pas si compliquée finalement, mais le formalisme est un peu lourd. Je l'ai rédigée en LateX si ça t'intéresse.
@holomurphy22
Жыл бұрын
Ah bah c'est ce que j'ai fait. J'avais pas vu ton commentaire. On se ramène à une sorte d'inclusion exclusion, ça marche bien. J'ai d'abord traité le cas à deux facteurs premiers, il suffit de sommer 4 colonnes. On remarque tout de suite l'inclusion exclusion avec ce cas et la généralisation est facile
@christkiple7557
2 ай бұрын
Merci pour la vidéo
@holomurphy22
Жыл бұрын
J'ai pas regardé toute la vidéo mais j'ai pas sorti d'astuce incroyable. J'ai vu sur les premiers exemples qu'on semble toujours pouvoir simplifier la dernière colonne (en lui soustrayant des colonnes précédentes). Ensuite j'ai essayé avec un déterminant à 2 facteurs premiers (p^a*q^b), pour lequel on trouve facilement une simplification qui ressemble à une sorte d'inclusion exclusion. On généralise cette inclusion exclusion, ça fonctionne, et on reconnait bien l'indicatrice d'Euler.
@MathsEtoile
Жыл бұрын
Effectivement c'est nettement plus naturel que ce qu'on fait dans la vidéo !
@LebronJames-nf1nc
Жыл бұрын
Je suis en debut de Mpsi cet exercice est une chinoiserie absolue je comprends rien mais c’est passionnant
@wasabissu5020
Жыл бұрын
Si ça peut te rassurer je suis en MP, je comprends mais c'est vraiment dur, j'aurai jamais eu l'idée déjà parce que je savais pas ce que c'était la fonction indicatrice d'Euler, ensuite parce que je connaissais pas le résultat de la somme sur l'indicatrice d'Euler, même avec ça je suis pas sûr de réussir l'exo, bref un exo très dur
@Abraccuda
Жыл бұрын
Le problème de ce genre d'exos c'est que si c'est trouvable et tu peux même comprendre pourquoi et comment avoir ces idées. Mais ça implique de jouer avec ça pendant plusieurs heures et de refléchir longtemps. Ce n'est pas trouvable en examen en 30 minutes. C'est un peule côté absurde des concours.
@MathsEtoile
Жыл бұрын
Je suis 100% d'accord, mais malheureusement les écoles adorent faire peur aux candidats, donc on se retrouve avec ce genre d'oraux qui mériteraient plusieurs heures de réflexion...
@holomurphy22
Жыл бұрын
J'ai mis 15-20 minutes donc c'est possible. Apres j'avoue que le dernier exo d'oral (X) que j'ai fait j'avais mis 3h. Mais une fois qu'on a déjà fait un type de raisonnement, on le retrouve plus facilement si il se représente. J'ai certainement bénéficié de l'intuition arithmétique que j'ai développée au lycée (j'aimais également bien l'indicatrice d'Euler) Un oral est fait pour être guidé cela dit
@mehdielabdaoui1955
10 ай бұрын
@@holomurphy22 tu es un surhomme. Déjà pas grand monde passe 3 heures sur un exo d'oral. Faut vraiment être motivé.
@stephaneleunde448
Жыл бұрын
C'est magnifique !!!!!!!!!🤗
@babycool2323
Жыл бұрын
Perso ça me semble clair : monsieur Schmidt est allé voir des travaux sur le pgcd, a vu cette identité avec la fonction d Euler, et il a compris parce que c était sans doute un boss qu'il pouvait l appliquer dans ce problème. C'est comme ça qu'on fait des maths : on étudie la littérature quand on bloqué.
@abdelmoulamsaddaq8240
Жыл бұрын
Je me demande si ce monsieur n a pas fait ça sur mesure cad fabriquer l exercice autour de ces astuces a part ça c’est quand même ingénieux
@Risu0chan
2 жыл бұрын
Formidable. J'avais bien l'idée de décomposer la matrice en produit type cholesky (triangulaire), ce qui est possible car elle est symétrique. Mais ça ne donne rien d'évident. Et la diagonalisation ne donne rien non plus. Par contre, j'ai découvert (merci python et numpy) la formule pour le déterminant, donc je savais que ϕ intervient quelque part... J'imagine que M. Smith a calculé les premiers termes à la main, à l'époque. De là à penser à la sommation d'Euler et en faire un produit matriciel…
@MathsEtoile
2 жыл бұрын
Effectivement, la décomposition de Cholesky est une bonne manière de motiver ce calcul astucieux, ça éclaire un peu plus les choses ! En revanche, sans ordinateur, il me semble assez délirant pour ce pauvre monsieur Smith de calculer le déterminant a la main au delà de l'ordre 7 ou 8... Donc pas beaucoup de matière pour faire une conjecture ! Pour info, le bouquin d'où je tire cet exo situe ce calcul à 1875, mais wikipédia ne donne rien... Décidément bien mystérieux... ;)
@MathsEtoile
2 жыл бұрын
Excellent, merci beaucoup !
@mrl9418
Жыл бұрын
OUAIS! Mon hypothèse était correcte. J'ai basé ça sur beaucoup moins en effet. Si on appele Mn la matrice de taille n, et si n est premier, |Mn| = (n-1)|M(n-1)|, et n-1 = phi(n) dans ce cas. Dans le cas de 3, on q de suit |M3| = 2 |M2| = 2*1 |M1| = 2*1. Cela vient de ce que la premier colonne n'a que des 1, la dernière colonne n'a que des 1 sauf un n à la ligne n, donc un peut faire la difference et se reconduire à M(n-1). Ceci dit, la preuve est presque impossible à intuiter, je crois, sans une très bonne connaissance des méthodes th analytique des nombres
@MathsEtoile
Жыл бұрын
bien joué bien joué :)
@marcdegennes8906
Жыл бұрын
je comprends pourquoi les fractions s ecrivent de la forme k/d, mais je ne comprends pas pourquoi elles englobent tous les k 1
@il_caos_deterministico
Жыл бұрын
on peut montrer que pour tout k, si n=rd, alors kr/n appartient à l'ensemble E. c'est une relation bijective (Désolé pour mon français)
@mehdielabdaoui1955
10 ай бұрын
Il ne démontre pas tout, il va vite sur certains points, voir très vite. Moi je comprends car j'ai déjà vu ces raisonnements plusieurs fois.
@mehdielabdaoui1955
10 ай бұрын
A toi de le démontrer par double inclusion, ce n'est pas très difficile.
@ramdamdam1402
Жыл бұрын
Pour l'introduction de l'indicatrice d'euler on peut voir l'utilité en essayant de comprendre la forme des matrices à des n plus élevés, le schéma d'apparition des nombres fait penser à l'indicatrice d'euler.
@julien4230
Жыл бұрын
Merde j’avais l’intuition d’une suite de Fibonacci. Dommage il faut que je bosse plus.
@MathsEtoile
Жыл бұрын
C'est un exo très astucieux, il faut pas paniquer parce qu'on le trouve pas ;)
@workstation7101
Жыл бұрын
waow
@yasseroutalmout1245
4 ай бұрын
déjà la matrice est symétrique réelle donc diagonalisable. si on parvenait à montrer les val propres sont phi(k) c'est fini mais comment hahahahahah
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