Очень сложно. Можно проще. Отразим треугольник ABC относительно BC. Точка A перейдет в E. Треугольник AEC равнобедренный. Из точки Е проведем биссектрису на АС, пересечение - точка О. Отразим ADC относительно DC, A перейдет в точку F. Через углы доказываем что треугольники EOC и ACF подобные, учитывая что ОЕ = 2у. Получаем пропорцию 2у / 2 = 2 / 2х отсюда в ху=1.
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Согласен, если владеешь симметрией. Действительно, красиво. Но моя цель была - прокрутить замечательный трегуольник с углом 36.
@user-hr5vv3nm3x
10 ай бұрын
После всех трудов задумался: а зачем проводил диагональ? Наверное, Ваша атмосфера творчества повлияла.
@alexnikola7520
13 күн бұрын
отличные расчеты! что-то решил копнуть вглубь сайта.... и не пожалел
@GeometriaValeriyKazakov
13 күн бұрын
Согласен. Там Клондайк!
@borodadarwina
Жыл бұрын
Великолепное видео, спасибо!
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
И вам спасибо.
@yaroslavmileyko9306
Жыл бұрын
1) Проведем медиану ВМ на сторону АС треугольника АВС. В таком случае треугольник ВМА - равнобедренній, поскольку АМ и ВМ - половинки диагоналей одного прямоугольника. 2) По теореме синусов: АМ/sin72 = у/sin36 => 1/(2*sin36*cos36) = y*sin36 => y = 1/(2*cos36) 3) x = AC*cos36 => x = 2*cos36 4) x*y = 2*cos36 * (1/(2*cos36)) = 1
@alishernizamov9441
Жыл бұрын
Круто!😊
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо. Очень хорошее решение для 10 класса (нужен синус двойного). Извините за поздний ответ (пропустил случайно).
@sv6183
Жыл бұрын
Имеем два прямоугольных тр-ка АВС и АСД с общей гипотенузой АС. Если вокруг них описать окружность, ее центр О будет лежать на середине гипотенузы АС, а ее радиус R =АС/2. Соединив центр О с вершинами А и Д получаем равнобедренные ∆ АОВ и ∆ АОД. АО=ОВ=ОД=R. AB=y. АД = х.
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо. Да, хорошее решение. Извините за поздний ответ.
@P.S.Q.88
7 ай бұрын
Всё верно и логично, ход мыслей и решение понятны. Только вы допустили 6 ошибок механического характера, торопились, наверно.
@user-wj5vx7og4h
Ай бұрын
Вся трудность в нахождении произведения cos36*cos72. Для этого есть стандартный способ. Умножаем и делим это выражение на sin36. После преобразований получаем 1/4. Так же считается cos20*cos40*cos80
@GeometriaValeriyKazakov
Ай бұрын
Согласен.
@user-hr5vv3nm3x
10 ай бұрын
Я позволил себе принять углы 72(2пи/5) и 18(пи/10) за классические со стандартными значениями sin = cos=(\/5-1)/4. Итак, 4-угольник АВСД вписанный(в смысле, имеет право--180+180). ВД--диагональ=2 и делится пополам в точке О (обе--диаметры). В тр-ке АОВ: АВ=ОВ2+АО2--2*АО*ОВ*сosВОА. Из тр-ка АОД аналогично найдем АД. В итоге: х*у= (3-\/5)/2*(3+\/5)2=1
@GeometriaValeriyKazakov
10 ай бұрын
Отлично. kzitem.info/news/bejne/zKeIzGiogpt4p5w
@user-mw4sm8uz7d
Жыл бұрын
Я ожидал чего-то более красивого, чем нахождение тригонометрических функций углов путем геометрических построений.
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Это очень красивый треугольник, так называемые золотой треугольник, который восходит к логарифмической спирали, золотому сечению и числам Фибоначчи. В коротком ролике обо всем не расскажешь. Но спасибо за комменатрий.
@user-mw4sm8uz7d
Жыл бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо за разъяснение
@user-hr5vv3nm3x
Жыл бұрын
Если честно, я подумал, что задача на память функций классических углов--36, 54, 18, 72 и т.д. Но увидев кол-во вариантов, удивился. Почему не х=2*cos36=корень из 5+1/2, а у=2*cos2*36=корень из 5-1/2. Ответ=1🙂
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо. Потому, что это 9 класс. И потому, что нужно прокачать классический олимпиадный треугольник (72,72,36). А еще потому, что Мессси на скакалке прыгает 5 раз в день. Тренировка!
@katajator4114
Жыл бұрын
А почему нельзя описать окружность и по теореме синусов выйти на произведение ху= 1
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Эта задача имеет 12 способов решения.
@vkr122
9 ай бұрын
Геометрией тоже быстро: строим на АС треугольник АСВ1 как в вашем решении с углами при основании 72, и разложем в нем данные треугольники : АСВ повернем вокруг ВС , получим АСА1, АА1=2у, угол АСА1=36, на СА1 отложим АСD так что А=С ,АС=СА1, получим равнобедренный САВ1, С1В1=2, СВ1=2х, так как СА1 бисектриса то 2/2у=2х/2 откуда ху=1.
@GeometriaValeriyKazakov
5 ай бұрын
Спасибо.
@Steger_4785
Жыл бұрын
Теорема синусов как по мне быстрее если таблицу синусов иметь при себе
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо, так речь не приближенном решении, а о точном.
@pratik_matematik
Жыл бұрын
👍
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
kzitem.info/news/bejne/xq5-qmiDbJ18aWU
@user-fg9nk4sc8r
Жыл бұрын
Нехай АК - бісектриса кута А, М - середина ВС, Р - середина АВ рівнобедреного трикутника з кутами по 72 градуси при основі ВС.Тоді ВС=ВК=АК та ху = 2sin(54g)*2sin(18g) = (AB/AK)*(AC/AB) = 1. То ж не було жодної потреби шукати значення тригонометричних функцій. В українських школах такі задачі розв'язують в один рядок саме так!
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Согласен, симпатично. Но дополнительные построения - это всегда инсайд. А я показал классику.
@vitalius7351
Жыл бұрын
а я уверен, что 99% украинских учеников даже если решат задачу, то решение будет отличным от вашего.....
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
@@vitalius7351 Спасибо. Ученики 9 класса будут решать либо так, как я (зная идею вывода sin54 через ранобедренный с углом 36), либо сложными разбиениями данной фигуры (я не стал это делать). Ученики 10-11 кл применят sin36=cos54 и косинус тройного. Так что ни в какой "1 радок" точно не получится.
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
@@vitalius7351 Кстати, ниже там приводится решение при помощи теоремы синусов и синуса двойного. Хотя мой ролик называется - чистая геометрия. Но симпатично. Хорошую задачу я придумал, согласитесь. Много вариантов.
@adept7474
Жыл бұрын
Это тот нечастый случай, когда алгебраическое решение в разы быстрее геометрического ( к тому же синусы данных углов легко найти в википедии в один клик. Ответ за полторы минуты.) Последнее, конечно, интересное, но вспомнился реальный факт: выдан патент на устройство для запирания гроба изнутри.
@user-fg9nk4sc8r
Жыл бұрын
Це якраз той випадок, коли алгебраїчне розв'язання значно довше мого геометричного. в один рядок.
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
На олимпиаде один клик не получится - это во-первых, во-вторых, - это 8 классс и до тригонометрии еще 2 года! Так что, увы.
@user-fg9nk4sc8r
Жыл бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov А у наших школах це вдасться, бо означення синуса гострого кута прямокутного трикутника восьмикласники уже знають! А більше нічого з тригонометрії тут і не треба. Тим більше, що нічого не заважає замість використання синусів отримати аналогічні відношення з подібності відповідних прямокутних трикутників в умові задачі до трикутників ABM та APK у побудованому рівнобедреному трикутнику. І це вже буде чиста геометрія.Тому не треба Вам так вперто захищати свій нераціональний спосіб розв'язування.
@vitalius7351
Жыл бұрын
@@user-fg9nk4sc8r вам же выше пояснили про классическое решение, а вы зачем-то показываете свою твердолобость...
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
@@vitalius7351 Согласен. Очень точно.
@lemmagin8040
9 ай бұрын
Еще один способ: ху=4cos36*cos72.Введем величину У=sin36*sin72.Тогда ху*У= 4cos36*cos72*sin36*sin72=2sin36*cos36*2sin72*cos72*=sin72*sin144=sin72*sin36=У,т.е. ху*У=У.Сокращая на У,получим ху=1.
Пікірлер: 43