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【5人しか受からない超難関入試】京大 2020年度 特色入試 [4]【空間図形】
Күн бұрын
【5人しか受からない超難関入試】京大 2020年度 特色入試 [4]【空間図形】
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最難関の数学 by 林俊介
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Пікірлер: 29
@村上健太-s4s
Жыл бұрын
問題文は短くてシンプルなのに発想はとてつもなく難しいのが面白い。 京大の特色入試の解説これからもやって欲しいです!
@884
Жыл бұрын
特色入試については,今後も時折取り上げる予定です!
@3gp
3 жыл бұрын
簡単な問題文で一見当たり前に見えるけど証明は鬼ムズいという。流石京都大学。
@884
3 жыл бұрын
いかにも京大という感じの問題ですね。 特色入試だと尚更雰囲気が出ます笑
@岡田展幸
3 жыл бұрын
別解を思いついたので書かせてください! 題意を示すには以下の(命題A)を示せばよい: (命題A)「四面体ABCDの周および内部に3点P, Q, Rを取ったとき、そのうち1点を点A, B, C, Dのいずれかと入れ替えることで元の3角形PQRと面積が同じかそれより大きくすることができる」 (証明)(命題A)を示すには(点Pと直線QRの距離)≦(点A, B, C, Dと直線QRの距離のうち最大のもの)を示せば十分である。ここで点Qと点Rが一致する方向から四面体ABCDを見た図(*)を書くと以下の(1)〜(4)が成り立つ: (1)空間上の任意の点Xと直線QRとの距離は、図(*)における線分QX(=RX)の長さと一致する。 (2)四面体ABCDの周および内部は、図(*)においては3角形または凸4角形の周および内部として見える(∵ 四面体は同一平面上にない4つの頂点についてその任意の2点を線分で結んだ図形であり、そのことは点Qと点Rが一致する方向から見ても変わらないため) (3)図(*)における3角形または4角形の頂点はいずれも、4点A, B, C, Dのいずれかと重なって見える。 (4)図(*)において点Q(=点R)は(2)で述べた3角形または4角形の周および内部の1点として見える。 以上より、図(*)を用いて(命題A)を書き換えると次のようになる: (命題A”)「図(*)における3角形ABCあるいは凸4角形ABCDに対して、その周および内部に任意の2点P, Qをとったとき、PQ ≦ max{AQ, BQ, CQ(, DQ)}が成り立つ」 これは容易に示される■
@Unchidelivery
2 жыл бұрын
志望校の問題解けずに萎えてる時この手の意味わからんの見てると自分の悩みがしょーもなく思えてきて好き
@jalmar40298
3 жыл бұрын
44:40 ここら辺の議論は、例えば点Pが四角形EFGHの内部にあるとき、半直線QPと四角形EFGHの周の交点を改めてPとおけば、元の三角形PQRより高さが変わらず、底辺が長くなっているので面積を大きくなっている。QとRにも同じことをすれば三角形の面積を大きくしつつEFGHの周上に取り直せる。 みたいな感じでは駄目ですかね?
@884
3 жыл бұрын
それでも大丈夫です! むしろわかりやすい考え方・説明の仕方だと思います。
@smbspoon-me-baby
3 жыл бұрын
昔少し似た問題で、 半径1の球に内接する四面体のうち (1)体積が最大のもの (2)表面積が最大のもの はどんなものか? という問題を(自分じゃ解けないのに)自作したことがあります。 とある数学に強い人いわく (1)は正四面体(難易度:標準問題) (2)も正四面体(難易度:超難問) らしいです。 自分の経験則ですが、空間図形の面積に関する問題は体積の問題より大抵難しいです。 次元が揃っているほうが解析しやすいのかな。 あまり関係なくてすみません。
@pacho731
3 жыл бұрын
今年の渋谷幕張の大門5がかなり鬼畜なのですが、解説していただけないでしょうか。 円柱内に円を入れたとき、その配置で高さが最小になるものを求める問題です。 後、去年の開成の最後の問題も鬼畜です。
@884
3 жыл бұрын
コメントありがとうございます! 今後の動画作りの参考にします。 高校入試でも,時折とんでもないものが出題されますよね。
@GeorgeIter418
2 жыл бұрын
数学問題の解説見るの楽しい。
@聡福地
3 жыл бұрын
なるほど。東大1988年大問2(四面体の正射影の面積)と雰囲気が似ていますね。あれも東大史上を代表する難問といわれますがこちらも素晴らしい。2021年度の問題が基礎的過ぎたので、このような美しい問題を(例えばTan1度は有理数か、は京大の代名詞ですよね)出して京大ここにあり、というのを示してほしいものです。
@884
3 жыл бұрын
今年の京大入試は,(特に文系が)平凡かつ平易な問題ばかりだったので,数学が好きな立場からすると退屈ではありますよね笑 もちろん,国立大学の入試なので,変な or 極端に難しい問題ばかりにはしにくいと思うのですが,常識の範囲内でとんがった問題を出題してほしいと言う気持ちは確かにあります。
@marimontan7724
3 жыл бұрын
解説されればすんなり理解できるけど、自分で0から進めていくには難しい問題に思えました。 一段回一段回必要なものを自分で探って明らかにしては、どう解決するかを考えられるかどうか?をとことん試されていますね。
@884
3 жыл бұрын
一般入試の問題と比べると,正解に至るまでに必要な試行錯誤の回数,思考の量が圧倒的に違いますよね。 今回の問題もそうですが,典型解法の暗記でどうにかなる問題はほとんどなく,特色入試のレベルの高さを感じます。
@pz7226
2 жыл бұрын
内部及び面上に適当な2点P,Qを取ったのち,もう1点Rを△PQRが最大になるようにとることを考える.PQを軸とした円柱上にRを取れば△PQRは一定でかつ面積は円柱の半径に比例する.すなわち四面体ABCDと共有点を持つ半径が最大の円柱と,四面体ABCDとの共有点上にRを取れば面積の最大化が可能である.かような共有点は四面体の頂点もしくは四面体の辺となる.いずれにしてもRを頂点に一致させることで面積が最大になる.続けてP,Qについても同様に頂点に一致させるのがよい.このことからP,Q,Rをどのように取っても,面積がそれ以上の四面体の面が存在する.ゆえに,四面体の最大の面より大なる三角形を取ることはできない.
@scarlett1195
3 жыл бұрын
断面が四角形の場合は難しいですね!
@884
3 жыл бұрын
断面が三角形ならその断面自体を △PQR にすればいいのですが,断面が四角形だとそうはいかないので大変です💦
@yukihyde1
3 жыл бұрын
切断面とか最初の補題のアイデアには 気づいましたが、 そこで手が止まっちゃって 仕方なくベクトルを使ったら 山程の文字(変数)に埋められて 動きも出来なくなりました。 ( ̄▽ ̄) やはりPQを x軸に置いて ADの方向ベクトルを用いるのが 大事ですね… 三角形として無理やり余弦に手を出したりするのでなく、簡単でスマートに面積を比較する骨を浮かべる所が素晴らしいです。 なぜ僕は思いつかなかったんだろう、 って反省中…
@884
3 жыл бұрын
この問題は,方針を立てるのが最も難しいように思います。 逆に,方針さえ立ってしまえば,あとはそこまで苦労しません。 おっしゃる通り,ベクトルを導入すると(原理的には証明可能だと思いますが)現実的には大変なことになります💦
@gosuf7d762
3 жыл бұрын
外積を使って代数的に解こうとしました。 四面体の最大面を構成する頂点を、残りの一つの頂点を起点としたベクトルで、e1,e2,e3 と表す。 最大面の面積の2倍は |e| = | (e1 x e2) + (e2 x e3) + (e3 x e1) |となる。 四面体の内部の3点を同じ起点を使ったベクトルで r1,r2,r3 と表す。 この3点のはる三角形の面積の2倍は |r|= | (r1 x r2) + (r2 x r3) + (r3 x r1) | となる。 r1,r2,r3 が四面体内部にあるという条件から |r| < |e| を示す。 という方針で解こうとして、たぶん |a|
@884
3 жыл бұрын
今回は代数的解法を諦めてしまったのですが,もしできるのであればぜひ知りたいところです。 うまい解法がある気もしますが......
@NatureJapan3776
3 жыл бұрын
解き方同じでした。 個人的には特色3より簡単でした。 断面が四角形の場合の②②'の場合分けは考えませんでした。 最初から目いっぱい大きくすると、P,Q,RがE,F,Gに重なる時で代用できるので。 でも、本番だったら減点されそうな気もする...(˜ヘ˜;)
@884
3 жыл бұрын
この年の特色入試は [3] が一番難しいですよね。 補題を積み上げて証明していかなければならないので大変です。 [4] は証明の方針というか切り口さえわかれば,そこまで苦労することはない印象です。(その最初のステップがやや大変ですが)
@ここなたで-x8k
3 жыл бұрын
断面が四角形の場合、それが凸な四角形であることは自明としていいだろうか
@884
3 жыл бұрын
あーどうなんでしょうね。 個人的には認めてしまって問題ない気がするのですが,採点基準ばかりは大学が決めるものなので確実なことはいえないです。
@pn-dayo
3 жыл бұрын
こんな大変な問題だけど一問20点とな😅
@884
3 жыл бұрын
配点の大小は無関係とはいえ,これだけ頑張ってもらえるのがたったの 20 点というのは,ちょっと寂しいですよね笑
Пікірлер: 29