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Si consideri la famiglia di funzioni f_n (x)=√(n&x^2 )−√(ax^2+bx+1), con n∈N, n maggiore di 1 e a, b∈R, a minore di 0.
a) Verificare che, qualunque sia il valore di n, la funzione f_n non è derivabile nel punto di ascissa x=0. Determinare il valore di n, in corrispondenza del quale il grafico di f_n presenta un punto angoloso. Per opportuni valori dei parametri a, b, il grafico α, in figura, rappresenta la funzione
f_2 (x)=|x|−√(ax^2+bx+1). Determinare i parametri a e b, considerando che f_2 è definita in [−1,1] e che il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.
b) Studiare la funzione g(x)=|x|+√(1−x^2 ), verificando che non è derivabile negli estremi del dominio e nel punto di ascissa x=0. Indicare con β il suo grafico e tracciare la curva γ=α∪β.
c) La retta r, di equazione x=k, con −k compreso tra -1 e 1, interseca γ nei punti P e Q. Dimostrare che la misura del segmento PQ è massima quando r è asse di simmetria di γ
d) Verificare che la funzione H(x)=1/2 (arcsin(x)+x√(1−x^2 )) è una primitiva della funzione
h(x)=√(1−x^2 ). Con il metodo che si ritiene più opportuno, calcolare l'area della regione finita di piano delimitata da γ.
Indice dei contenuti:
0:00 Testo della prova
0:35 Svolgimento del punto a) prima parte
9:10 Svolgimento del punto a) seconda parte
12:09 Svolgimento del punto b)
23:56 Svolgimento del punto c)
27:40 Svolgimento del punto d)
Негізгі бет Risoluzione Secondo Problema dell'Esame Maturità di Matematica 2024 - Liceo Scientifico.
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