peut-on procéder par récurrence sur la taille de la famille de polynomes ? si on se place sur K[X] avec K un corps , pour n= 1 on a une famille a un seul élément forcément elle est libre . supposons la propriété vrai pour n'importe quelle famille de n Polynomes de K[X] a degré echelonnes pour un certain n dans N et montrons qu'elle reste vraie pour n+1 : soit a_i des termes appartenant a K tel que i varie de 1 à n+1 : et (P_i) une famille de n+1 polynomes de K[X] non nuls a degrés echelonnes alors : a_1P_1+a_2P_2+...+a_{n+1}P_ {n+1} = 0 si a_{n+1} different de 0 alors la somme serait de meme degré que P_{n+1} ce qui est absurde . donc forcément a_{n+1} = 0 et on se retrouve alors dans le cas de famille à n Polynomes et d'apres notre hypothese de récurrence les a_i sont donc tous nuls et la propriété P_{n+1} est vérifiée On conclut finalement par principe de récurrence que la propriété est vraie pour tout n dans N*
@teamredac8046
2 жыл бұрын
Bonjour, merci pour la vidéo. Le souci, c'est que tout cela n'a pas vraiment de sens si on ne sait pas pourquoi le degré de 0C[x] vaut moins l'infini. Que se passe-t-il si on raisonne dans R[x] ? Peut-on démontrer cela sans cette pirouette ?
@peusipeul
Жыл бұрын
Le degré de 0C[x] vaut moins l'infini par définition !
@ych_edits4254
Жыл бұрын
c'est par convention que le degré d'un polynôme nul est moins l'infinie
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