Вписанный угол F=45° опирается на дугу KN, тогда центральный угол KON=90°, катеты KO=ON=R=1, а гипотенуза KN=√(1+1)=√2
@Pozics
3 ай бұрын
так же решил
@user-uv4jp8yd8e
3 ай бұрын
Класс
@aleksandrsavuskan7124
3 ай бұрын
Из точки N. проводим перпендикуляр к диаметру до пересечения с окр.КМ продолжаем до пересечения с окр. перпендикуляра.Получим угол опир.на дугу окр.45. Проводим радиусы в точки К,М. Получаем равноб. прямоугольный треугольник.с катетами 1.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Супер!Спасибо.
@math2457
3 ай бұрын
Добрый день, Валерий. Так же, как и Вы, продлила MN до пересечения с окружностью. Угол KFN равен 45⁰. Значит центральный угол KON (опирающийся на ту же дугу KN) равен 90⁰. В прямоугольном Δ-ке KON катеты КО и ON - радиусы окружности. Искомый KN = √(1^2 + 1^2) = √2.
@user-dy4gr3pe3f
3 ай бұрын
Кстати! Получается в разы проще!
@7_62x39
3 ай бұрын
а с чего это вдруг угол KON равен 90⁰?
@user-dy4gr3pe3f
3 ай бұрын
Угол КОN равен 90 градусов, потому что он центральный и опирается на дугу КN, на которую опирается вписанный угол КFN, равный 45 градусам.
@user-cp3vc4ho9g
3 ай бұрын
М в точку О перемещаем.Катеты получаются по радиусу. Корень из двух ответ
@denishaintzev8532
3 ай бұрын
Также делал, только в точку А переместил. Результат не меняется... )))
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо. На олимпиаде, правда, не зачтут. Нужно доказать, что для любого положения M это верно. Могут также дать дурацкие значения: AM=|/17 -5. И все! Но для тестовой формы задания норм.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спассибо. Но вот прочитайте мой коммент, если вы ученик или учитель. @@user-io7er5hz3m
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Ребята. Ничего нельзя никуда перемещать без основания для этого! @@denishaintzev8532
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Зачет!
@illarionpak1607
3 ай бұрын
Угол KFN = 45°, следовательно дуга KN = 90°. Значит треугольник KON - прямоугольный, с катетами-радиусами = 1 Отсюда KN = корень из 2 А в начале я отразил зеркально синие отрезки относительно диаметра AB. И из-за углов (45,90,45) получил две синие пересекающиеся прямые. И часть рисунка получилась как в ролике.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Да, так отлично, Самое лаконичное продолжение. Труднее всего показать, что /FMN = 180, то есть, что не ломаная. Или продлив NM показать, что MK=MF!
@user-hh1yd7po4t
3 ай бұрын
Здравствуйте. Позвольте ещё вариант решения. Из условия задачи видно, что точка М может располагать где угодно. Длина хорды Х не меняется и определена только углами. Мы можем точку М поставить как угодно близко к точке О, даже совместив с ней. Получим прямоугольный треугольник с катетами 1. Гипотенуза равна кв.корню из 2.
@ndpsgu
3 ай бұрын
Не только решение не смотрю до своего решения, но и комментарии не читаю, до своего комментария :)
@user-yl2zj7co1t
3 ай бұрын
Здравствуйте, как доказать, что если переместим точку М в центр круга, то треугольник останется прямоугольним?
@ndpsgu
3 ай бұрын
@l2zj7co1t мы перемещаем точку М, не меняя углы. Доказательств не требуется, мы просто применяем условия задачи в нашем построении. Если угодно доказательство возможности существования такого треугольника, то можно указать, что в центре окружности "поместится" любой треугольник с "центральным" углом >0 и < 180 градусов.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
К сожалению, это олимпиада. И нужно доказывать для любого положения М! Незачет.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Нельзя никуда ничего перемещать просто так!@@user-yl2zj7co1t
@user-nb4hj2ng2e
2 ай бұрын
Молодцы зрители! Решение проще через вертикальные углы!
@sergeykitov2760
3 ай бұрын
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Да, спасибо. Правда, задача предагалась в 8 классе, где нет т. синусов. Но отлично, что есть решение. Если нетрудно, запишите свое решение для зрителей.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
А вообще, замечательно, что решилась просто, но распрямлять получается нужно.
@sergeykitov2760
3 ай бұрын
@riaValeriyKazakov А равенство углов опирающихся на одну и ту же хорду восьмиклассникам доступно? если да, то можно рассмотреть прямоугольный равнобедренный треугольник KON.
@ivmusic7714
3 ай бұрын
Уважаемый Sergey ... Неясность в комментарии ❗️ Для какого это треугольника вы написали теорему синусов: X = 2R*sin(45) . Или, хотя бы, поясните, откуда вы взяли это выражение ❓ Стороны Х и R ни в какой треугольник вместе не входят . Да ещё с углом. 45°. 😳
@sergeykitov2760
3 ай бұрын
@@ivmusic7714 В процессе решения задачи была построена точка F - второе пересечение прямой MN с окружностью. Треугольник FKN вписан в окружность радиуса R = 1, сторона KN этого треугольника равна X, а угол F равен 45 градусов. Теорема синусов гласит, что KN = 2R sin(
@user-yf1zt2dg8m
3 ай бұрын
После достроения треугольника слева стоит на него посмотреть ... 45-45-90, где нижние 45 - угол с окружности на хорду. Из центра будет 90 ;) ✓2
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Супер!Спасибо.
@user-den_sm
2 ай бұрын
Вокруг треугольника KMN можно описать окружность. Центр окружности окажется в середине KN. Назовем эту точку E. Медиана ME равна радиусу r описанной окружности и KE=NE=ME. Если KM=MN, то треугольник KMN равнобедренный прямоугольный с углами при основании по 45гр. KN параллельна АВ по равным накрест лежащим углам NKM и KMA. Медиана МЕ в равнобедренном треугольнике также является высотой. Перпендикуляр опущенный к хорде KN из т. О также является срединным и равным МЕ, как расстояние между параллельными прямыми. Если из двух точек М и О, лежащих на АВ, проведены 2 перпендикуляра к параллельной KN в одну точку Е, значит М и О совпадают. Описанная окружность касается АВ в единственной точке О. ОK и ON - радиусы большой окружности R и KN легко находится как √2*R или просто √2. Рассмотрим случай, когда KM не равно MN, то есть не являются радиусами большой окружности и М не совпадает с О. Значит описанная окружность кроме М пересекает АВ в одной и только в одной точке. Треугольник KMN разбивается медианой МЕ на 2 равнобедренных KEM и MEN. Угол ЕКМ=ЕМК обозначим а, угол ENM=EMN обозначим б. а+б=90гр, как острые прямоугольного треугольника КМN. Угол NEM будет равен 2*а, как внешний к треугольнику ЕКМ. Отрезок ОЕ, проведенный к середине хорды KN из центра окружности ей перпендикулярен. Рассмотрим треугольник МЕО. Угол ОЕМ = 2*а-90. Угол ЕМО = б+45. Тогда угол ЕОМ = 180 - (б+45) - (2*а-90)= 180+45-(2*а+б)=2*(а+б)+45-(2*а+б)=б+45. Оказалось, что угол ЕОМ=ЕМО. Треугольник МЕО равнобедренный, МЕ=ЕО=r. О - искомая вторая точка пересечения описанной окружности с АВ. Угол KON прямой, как опирающийся на диаметр. Только при заданных условиях мы можем "передвинуть" М в О). Дальше находим KN из равнобедренного прямоугольного треугольника KON, как описано выше. Ответ: √2.
@GeometriaValeriyKazakov
2 ай бұрын
Очень интересно.
@adept7474
3 ай бұрын
Используя свои прежние (понравившиеся Вам) наработки, попробую доказать, что ∠КОN = 90°. Описать окр-ть с центром в середине КN (т. О₁). Точки К и М - на ней. Т. О - на срединном ⟂ к КN. Бо́льшая дуга, стягивающая концы ⟂ диаметров = 270°, а ∠КМО = 135°, Значит , он вписанный, т. О лежит на окр-ти, а ∠КОN опирается на её диаметр.
@vkr122
3 ай бұрын
Обясните пожалуйста почему точка О попала на окружность описанную вокруг KNM ?
@adept7474
3 ай бұрын
@@vkr122 Вписанный ∠135° опирается на хорду, на неё же опирается центральный ∠90°. ∠КО₁О (=90°) - центральный в проведённой окр-ти, а О₁О - её радиус. Извините, лучше без чертежа (текстом) объяснить не смогу.
@vkr122
3 ай бұрын
@@adept7474Супер! Изящное решение , не смог сразу сообразить как из вашего решения точка О попала на окружность :)
@adept7474
3 ай бұрын
@@vkr122 Благодарю.
@user-yq4jh7sw1y
3 ай бұрын
Ваша формула n^2 +m^2 = 2R^2 доказывает, что точку М можно перемещать по всему диаметру, и хорда Х равна хорде, которая опирается на четверть окружности и длина её есть функция двух переменных n и m с условием Вашей формулы. Треугольников KNM БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО , а хорда X. Красота! 62
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Да, после ее вывода - инвариант! В все прекрасно поняли!
@alekseyivanov7526
3 ай бұрын
Есть следующий вариант: Если мы продолжим катет NM до точки пересечения с окружностью F, а катет KM до точки пересечения с окружностью F1, соединим хорду FF1 получим два одинаковых симметричных относительно диаметра треугольника. Далее соединим току N и F1 получим хорду NF1 перпендикулярную диаметру, док-во очевидно. Далее надо рассмотреть два угла вписанных в окружность - это KF1N и KON, доказываем что угол KF1N = 45 градусам, =>, что угол KON равен 90 градусам, тогда рассмотрим треугольник KON, из выше доказанного он прямоугольный и равнобедренный со стороной катета равной радиусу R, тогда гипотенуза KN = sqrt(2)
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Супер.
@innaveltman5646
3 ай бұрын
Да как- то сразу. На хорду КN опирается вписанный угол 45°. Это хорошо видно, если продлить катеты треугольника до пересечения с окружностью. 2sin 45°=sqrt2. Кстати. Это и есть распоряжение ломаной, по большому счёту ( дальше не смотрела)
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Да, спасибо.
@OlegVlCh
3 ай бұрын
Можно так. Отразим рисунок относительно диаметра. Видно, что два отрезка Х стягивают дуги, которые в сумме составляют 180°. Тогда проводим диаметр через N и получаем равнобедренный прямоугольный трк с боковой стороной Х и основанием =2. Отсюда Х=√2.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Ну, наконец, а то все все поперемещали, рассмотрели частные случаи. Ужас! Спасибо вам. Все зачетно.
@OlegVlCh
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov 🤝
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Убрал ограничение AM=0,6 так ак просмотры остановились, пусть решают как могут.@@OlegVlCh
@Jafar779
Ай бұрын
Корень квадратный 2. От углов не зависит. Сторона вписанного квадрата.
@user-qu2mo4tn2h
3 ай бұрын
Здравствуйте , KN = 2R * sin45 или так : центральный угол KON в 2 раза больше вписанного угла KFN , то есть прямой = > x = R * корень из 2
@viktorviktor5820
3 ай бұрын
Класс!
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Отлично! А то я тут с любителями борюсь. Не понимают, что такое олимпиадная задача. Частные случаи рассматривают.
@ndpsgu
3 ай бұрын
Можете кинуть в меня тапком, но положение точки М никак не задано в условиях. Так что оставляю за собой право расположить её так, как мне удобно (на условии сохранения заданных углов, разумеется). Почему бы мне не совместить её с точкой О? В этом случае треугольник КМN у нас получается не только прямоугольным, но и равнобедренным. С бедром, равным радиусу, т.е. единице. А дальше - теорема Пифагора и гипотенуза, равная корню из двух.
@viktorviktor5820
3 ай бұрын
Именно задано! Задано углами. Если вы переместите тМ, поменяете условие задачи.
@ndpsgu
3 ай бұрын
@@viktorviktor5820 ошибаетесь. При этих углах точку М можно смещать в сравнительно широком диапазоне :)
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Уже задано. Читайте условие.
@viktorviktor5820
3 ай бұрын
@@ndpsgu ну попробуйте её сместить и у вас изменятся углы, те которые по 45 градусов.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Не спорьте, моя вина. Рассчитывал на олимпиадников. @@ndpsgu
@observeroutside1087
3 ай бұрын
Достроить до трапеции , тогда симметрично диаметру четвёртая вершина - N1 . KN1N как накрест лежащий с KFN 45 Значит КОN 90 - как центральный . Треугольнике KNO _ равнобедренный прямой с катетами равными радиусу , дальше по т Пифагора ответ корень из 2. Е
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Отлично.
@user-nx7ut7xq5x
2 ай бұрын
Если крутить отрезок X по окружности с центром O (точки K и N остаются на ней). И при этом позволить точке M перемещаться строго по диаметру AB. То получится прообраз кривошипно-шатунного механизма. В современных двигателях внутреннего сгорания немного всё сложнее устроено (и вообще наоборот). Но изначально, эта простая метаматематика и геометрия имеет место там быть.
@GeometriaValeriyKazakov
2 ай бұрын
Супер!
@user-nx7ut7xq5x
2 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Если кто-то хочет стать, в последствии, настоящим инженером, а не "типа инженер с дипломом". То там очень много знаний нужно (хотя-бы базовых). Сопромат, Теормех, Вышмат и ещё много чего. Но начинается все, в том числе, вот с такой простой школьной геометрии. Не можешь это понимать? Тогда а как-же дальше... Кстати, а по какому закону (функции расстояния от времени) двигается точка M (в координатах расстояния от точки центра окружности и времени) при вышеприведённых условиях? Для меня этот вопрос конечно риторический. А вот для слушателей канала может быть интересным. С уважением В.Г.
@GeometriaValeriyKazakov
2 ай бұрын
Золотые слова! @@user-nx7ut7xq5x
@AndreyDanilkin
3 ай бұрын
Можно построить симметричный треугольник на отрезке ОВ "смотрящий" в нижний сектор, и еще 2 на диагонали перпендикулярной АВ (так чтобы получился квадрат со стороной х). то что это квадрат легко доказывается по углу 45^. Ну а имея квадрат с диагональю 2 находим x.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Супер!Спасибо.
@user-lt6gw7rp7b
3 ай бұрын
Если не указано конкретное расположение т.М, то получается можно её совместить с т.О. тогда получится прямоугольный равнобедренный треугольник, где катеты радиусы, а гипотенуза КN= корень из 2. X=корень из 2.😊
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Ничего подобного, это олимпиада и требуется доказывать для любого положения.
@user-lt6gw7rp7b
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov а что тут доказывать? Угол 90 градусов опирается на одну и ту же дугу, соответствено и хорда такая же.😊
Ну вот с доказательством, что точку можно двигать. Продлим NM. Там легко доказывается, что угол KFN = 45*. Значит, центральный угол KON в два раза больше, 90*. КО и ОN радиусы равны 1, там найти как кусок квадрата.
ДЛЯ ТЕХ, КТО ВСЁ ЖЕ ХОЧЕТ ПЕРЕДВИГАТЬ ТОЧКУ М. Как справедливо отметил В.В. , такое решение примут ТОЛЬКО В ТОМ СЛУЧАЕ, если будет доказано, что результат не зависит от положения точки М!! Доказать, что длина отрезка KN не зависит от положения точки М можно при помощи аналитической геометрии. Пусть М(m, 0). Уравнения прямых МК и МN соответственно : y = - x + m, y = x - m. Уравнение окружности : (x - R)^2 + y^2 = R^2. Предварительно обозначив: √(- m^2 +2mR +R^2) = Δ, получим координаты точек пересечения прямых с окружностью : x(K) = (1/2)∙[m + R - Δ], y(K) = (1/2)∙[m - R + Δ], x(N) = (1/2)∙[m + R + Δ], y(N) = (1/2)∙[- m + R + Δ]. [x(N) - x(K)]^2 = Δ^2 = - m^2 + 2mR + R^2 , [y(N) - y(K)]^2 = (m-R)^2 = m^2 - 2mR + R^2 ⟹ KN = √{[x(N) - x(K)]^2 + [y(N) - y(K)]^2} = R∙√2, то есть KN не зависит от m !!
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Ну, пошли профи! Спасибо.
@user-oq3kj8xx3h
2 ай бұрын
Если ответ зависит от положения точки М, тогда задача сформулирована некорректно и ответа получить невозможно.
@SB-7423
2 ай бұрын
@@user-oq3kj8xx3h Задача сформулирована очень корректно. Ответ не зависит от положения точки М только при равных голубых углах по 45 градусов. Что и задано. И доказать это можно, я это сделал даже двумя способами. А вот если углы справа и слева от прямого не равны, то ответ ЗАВИСИТ от положения точки М и от значения угла NMB. И формулировка ее тоже будет корректной : Вычислить KN как функцию угла NMB и радиуса .
@davidtaran952
3 ай бұрын
длина хорды KN с центральным углом 90 град есть инвариант относительно выбора т.М
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Да, верно.
@mikezilberbrand1663
3 ай бұрын
Из вопроса следует, что Х не зависит от позиции этого прямого угла на диаметре. Тогда рассмотрим центральный вариант. Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами 1. Гипотенуза = корень из 2. -
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Да, но нужно доказать для всех положений. kzitem.info/news/bejne/y62avWiNkKaWl44si=Ise6fvL5njDWX2nc
@AlexandraMarchenkova
3 ай бұрын
1) Опять использовала такой же прием, что и при решении задачи kzitem.info/news/bejne/2oyXl59taYWYiH4si=MtQsW5uxYVhacjLs Т е. АВ -- ось симметрии. Из точек К и N опустила перпендикуляры на АВ и продлила их вниз до пересечения с окружностью. Получила точки К1 и N1 соответственно. Соединила К1 и N1. Получила равнобедренный трапецию, у которой КК1||NN1. 2) Диагонали нашей трапеции пересекаются под прямым углом. Пусть КК1=2у, NN1=2z. Тогда КN1=K1N=y√2+z√2=√2(y+z) 3) Используем формулу радиуса окружности, описанной вокруг треугольника R=abc/4S, где a, b, c -- стороны ∆-ка S -- плошадь ∆-ка R=KN1×KN×NN1/4S(KNN1) или 1=√2(y+z)×x×2z/4×[√2(y+z)×2z×sin(45°)/2] х=√2 ☑️☑️
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Отлично.
@antonkrumov3408
3 ай бұрын
Если и точка М скользит вдоль диаметра, всегда Х^2=2. Даже вырожденный случай когда М=А( лежит на окружности, один катет =0, другой под 45° внутри круга)
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Ей нельзя скользить. AM=0,6 (см. описание к ролику)
@SB-7423
2 ай бұрын
Предлагаю усложнить задачу. Пусть правый синий угол равен α , радиус окружности R и отрезок АМ = m. По-прежнему нужно выразить х с помощью R, m и α. Задача очень непростая. Я получил решение. Удивительно красивая и необычная формула. Кто захочет, можем сверить.
@GeometriaValeriyKazakov
2 ай бұрын
Согласен.
@vkr122
3 ай бұрын
Продлеваем КМ и MN до пересечения с окружностю , угол между хордами равен полусумме дуг , так как конструкция симетрична то на две дуги равных KN выходит 180 и следует центральный угол опирающийся на хорду KN=90 , тепер законна рисуем прямоугольный, равнобедренный треугольник ОKN и получяем х=√2!
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Да, это решение. Симмтерией можно оправдать. Спасибо.
@user-rh6mm6mz9d
3 ай бұрын
Еще вариант. Проведем прямые ОК иОN .рассмотрим два тр.МКО и MNO, примем уголМКО=@ , угол МNO также=@ , они опираются на МО.Угол КМО =135, а угол КОМ =45-@ . В тр. МNO угол МОN = 135- @. В тр. KON угол KON= угол МОN- угол КОМ =90 . Тр. КОN прямоугольный и КN равен корень из 2 .
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Олично.
@user-ph7dl2cw3y
3 ай бұрын
Только хотел спросить будет ли треугольник KON прямоугольным. :)))
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Да, будет. Это доказывается.
@n_eros
3 ай бұрын
Продолжим KM и KN до второго пересечения с окружностью, KM пересечёт окружность в точке K_1, NM, в точке N_1. KK_1 отсечёт хорду равную NB. NN_1 отсечёт хорду равную AK. Угол KNM оприается на две хорды равные AK и равен централтному углу AOK. Для угла NKM аналогично. Углы AOK + NOB = KNM + NKM =90. Тогда KON =180 - AOK - NOB = 90. И KN по т. пифагора равен sqrt 2.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Отлично!
@user-yo2wi5lr2x
3 ай бұрын
Ну про точку М которую надо переместить в точку О, тут уже много написано, с этим я опоздал. Но самое интересное, что искомый отрезок КН является стороной вписанного квадрата. Ну, а сторону вписанного квадрата, зная радиус, найти не составит труда.
Если из центра окружности провести к концам хорды провести радиусы =1. То хорда гипотенуза= ✓2.
@Creny_fr
3 ай бұрын
Только если угол, образованный двумя радиусами, будет = 90°
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
А почему между радиусами угол прямой? kzitem.info/news/bejne/y62avWiNkKaWl44si=Ise6fvL5njDWX2nc
@santashmyakus8516
Ай бұрын
Строим диаметр NP через т. О. Угол KPN = KFN=45 как опирающиеся на одну дугу KN внешние. Итак, PKN -- прямоуггольный равнобедренный треугольник с гипотенузой 2. Значит, KN=sqrt(2).
@GeometriaValeriyKazakov
Ай бұрын
Спасибо.
@miguelitonegrito
3 ай бұрын
Правильно ли я думаю таким образом? Если расстояния от М к О и А не заданы, значит если я буду двигать точку М влево к А или вправо к В, то длина х, которую надо найти не зависит от расположения точки М на диаметре АВ. Тогда я могу просто посунуть М на центр О, и найти х из прямоугольного треугольника КОN, в котором оба катета будут r, будет несложно, так как r^2 + r^2 = x^2. Откуда x2 =2r^2 или х = корень из 2
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Не совсем. В математика просто так двигать нельзя. Потому, что могут в зависимости от положения M быть разные ответы. Если вы двигате, то вначале должны обосновать, что x не изменится.
@miguelitonegrito
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov но все же х не изменится, как по мне это очевидно))) х всегда будет равен r x кор2. Разве нет?
Достроить равнобедр трапецию с с боковой KN иубедиться , что дуга KN 45'. Соотв ∆KON прямоуг, равнобедр с катетами =R.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Отлично.
@user-qk2mu9xm5u
3 ай бұрын
Получив точку ф Получилидугу КН
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Отлично. И дальше?
@gennadiy_basar
3 ай бұрын
Исходим из того, что задача составлена верно, соблюдая условия задачи перемещаем вершину прямого угла в центр круга, МО стремится к нулю. Для нулевого МО синие катеты равны радиусу круга 1. Ответ √2.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Не стоит исходить, доказываем для любого положения! Закон математики!
@gennadiy_basar
2 ай бұрын
@GeometriaValeriyKazakov А если у вас на решение задачи отпущено всего три секунды? Да и откуда вы взяли, что ваш рисунок более точный, чем мой при МО, стремящемся к нулю? :) Другими словами, моё решение задано условием задачи, -- допустив, что она верна для всевозможных положений точки М (вершина прямого угла), применяю для её решения самый короткий путь.
@GeometriaValeriyKazakov
2 ай бұрын
Спасибо за ваше мнение. Просто в математике так не решают "допустим условие верное и существует единственный правильный ответ ..." В математике доказывают при всех положениях. У меня в условии под роликом (почитайте) написано: AM=0,6. Теперь можно решать. Но вы не огорчайтесь, я в одном из последних роликов рассказываю, когда можно решать как вы, когда нет. @@gennadiy_basar
@alexnikola7520
3 ай бұрын
ну а я просто сдвинул точку М влево до упора) раз не имеет значения, где вершина прямоуг треуг. Ну и KN слилось с MN. Получился равнобедренный прямоугольный треугольник ANO... воде все
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо. Имеет значение!
@alexnikola7520
3 ай бұрын
виноват(
@viktorviktor5820
3 ай бұрын
Простая задача, легко решается в уме, получил √2. Достроил до трапеции. Смотрим. Другое решение. Из т N также опустил перпендикуляр и получил равнобедренную трапецию. В этой трапеции высота равна средней линии и равна полусумме оснований. Диагональ равна √2 от высоты, радиус описанной окружности равен R=d1*d2/(a+b). Где d1, d2 - диагонали трапеции, равны х, а и в - основания. Подставив получим R=d/√2. Откуда х=√2.
Уже указали, что точку М можно переместить в центр круга. А если это так, то потом достаточно применить формулу: NK = 2R * sin (90 / 2) = √2
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Уже написали, что AM=0,6 и ее нельзя перемещать.
@mrLumen2
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Можно перемещать, просто, надо сохранять все три угла лучей NK и МК - неизменными. Следовательно, отрезок NК после перемещения станет параллельно указанному диаметру АВ
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Нет, перемщать нельзя. В задаче я как раз и доказываю, что независимо от положения точки M значение x^2=2R^2. Вот в чем на самом деле заключается задача! Но в таком виде ее не дать на юутуб. Смотреть не будут. Ладно я уже там поставили AM=0,6. @@mrLumen2
достраиваем по способу автора точку F. угол F равен 45 градусов. хорда KN видна под углом 45 градусов. значит из центра О она будет видна под углом 90 градусов. значит OKN прямоугольный треугольник. находим гипотенузу. корень из 2.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Да. так можно рассуждать.
@user-kl3cj5si5z
2 ай бұрын
По теореме синусов KN = 2*1*sin(45) = √2
@GeometriaValeriyKazakov
2 ай бұрын
Да, отлично!@@user-kl3cj5si5z
@user-hr5vv3nm3x
3 ай бұрын
Эта задача красивая, но по ней заметно, как латинские 8-классники отличаются от корейских... Конечно, сразу тянем хорду N(M)E. Тр-ник КМЕ--равнобедренный. Угол Е=45, дуга КN=90, хорда, стягивающая дугу 90, равна \/2.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Да, но там не просто чисто доказать, что когда вытянем, то маленькие кусочки MK и MF будут равны. А так - да!
@RafOruzman
3 ай бұрын
Чего то очень сложно решили. Можно было простое решение.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Смотрите следующий ролик! Там обьяснение.
@Sergey-Primak
3 ай бұрын
после того, как приходит мысль о сдвиге точки M к окружности, другие варианты рассматривать уже не хочется
Вообще не думая: Раз расстояние от центра окружности до точки М не задано, смещаем точку М в точку 0, получаем прямоугольный равнокатетовый треугольник, со сторонами 1, 1 и корень из 2. Ответ: корень из двух.
@AllxxExp
3 ай бұрын
Увидел, что не я один такой "гений", и что на Олимпиаде не зачтут.
@AllxxExp
3 ай бұрын
Тогда, интуиция мне подсказывает, что если выразить катеты треугольника через синус и косинус (с длиной от центра до прямого угла треугольника), то, при сумме квадратов тригонометрия отвалится, так как сумма квадратов равна единице и получится такой же ответ. Надо подумать.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Это другое дело. Отлично. @@AllxxExp
@user-zo8zo3cg9b
3 ай бұрын
Как обычно, недостаточно данных, раз они не нужны, то они могут меняться. Подвинуть точку М до центра, равнобедренный треугольник со стороной 1, это половина квадрата, а диагональ тогда корень из двух.
@user-zo8zo3cg9b
3 ай бұрын
Если бы были дополнительные данные, не влияющие на решение, например, что ам=мо, то решать было бы трудно и интересно. А так это подсказка, что решить можно за две секунды.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Не то чтобы подсказака, а олимпидное условие в чистом виде. Но так как 90% не олимпиадники (не математики), то и решают математически неправильно, получая правльный ответ. А на олимпиаде это нолики! Уже ужесточил условие.@@user-zo8zo3cg9b
@user-zo8zo3cg9b
3 ай бұрын
@riaValeriyKazakov так можно доказать же, что они будут равны математически? в прошлой задаче можно было подвинуть точку, точнее построить второй треугольник с тем же основанием и высотой
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Это вы наговариваете на нашу семью.Что значит, "как обычно", 10 роликов последних нету как обычного! kzitem.info/news/bejne/y62avWiNkKaWl44si=Ise6fvL5njDWX2nc
@user-zo8zo3cg9b
3 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov ) нене. я имел в виду следующее - обычно, если не указаны дополнительные данные, то можно варьировать)
@dssorkin860
2 ай бұрын
Теорема синусов для FKN
@GeometriaValeriyKazakov
2 ай бұрын
@SB-7423
3 ай бұрын
Доказательство инвариантности результата относительно положения точки М с помощью только теоремы Пифагора! Обозначим : АМ = m, MK = b, MN = a. Несложным подсчетом отрезков получим два уравнения : [(a∙√2)/2 - R + m]^2 + a^2/2 = R^2, [(b∙√2)/2 + R - m]^2 + b^2/2 = R^2. Решив их относительно а и b, получим : a = (R - m + Δ)/√2 , b = (m - R + Δ)/√2. Здесь обозначено : Δ = √(- m^2 +2mR +R^2). По т. Пифагора : KN^2 = a^2 + b^2= m^2 -2mR+R^2 + Δ^2 =2∙(R^2) ⟹ KN = R∙√2. То есть a и b зависят от m, но сумма их квадратов-нет!
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Супер!
@user-ym8lp8to5x
3 ай бұрын
Автор смещения не любит. Не первый случай.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Всю я люблю. Только нельзя же безосновательно смещать. Вы должны доказать (!), что от изменения положения M ничего не изменится. Что для любых ее положений будет одно и тоже. Иначе на олимпиаде - сразу 0 б. Я целый ролик уже посвящал этой теме. Это ж не Кенгуру с выбором ответа.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Не наговаривайте: смещение - мой самый любимый прием. Но законное! Обоснованнное. kzitem.info/news/bejne/y62avWiNkKaWl44si=Ise6fvL5njDWX2nc
@FastStyx
3 ай бұрын
По-моему, все куда проще. Поскольку точка М не задана, а углы заданы - то надо доказать только, что значение X не зависит от того, где находится точка М. После этого доказательства - мы просто "сдвигаем" точку М в точку A, после чего значение X становится равно отрезку МN и равно диагонали квадрата с радиусом окружности. То есть, sqrt(2)
@SB-7423
3 ай бұрын
Что и сделано мной выше. Но доказательство несколько сложней самого решения!
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Не всегда просто - правильно! kzitem.info/news/bejne/y62avWiNkKaWl44si=Ise6fvL5njDWX2nc
Пікірлер: 176