Продлить CA на величину CD, обозначим новую точку E. Получим равнобедренный треугольник ABE с углами 74°, 53° и 53°. CK=KE, CM=MB, значит MK - средняя линия в треугольнике EBC, следовательно искомый угол также равен 53°.
@user-gf6po2pw1x
Жыл бұрын
Ваше решение это, что первое пришло в голову, а именно достроить до р/б тр-ка продлив сторону СА. У автора тоже красивое решение, но построения много
@Vova1955
Жыл бұрын
@@user-gf6po2pw1x Продлить сторону АС на величину СD- это отличное и красивое решение. Решение, где много дополнительных построений, вряд ли можно назвать красивым.
@user-dv5ox6os5p
Жыл бұрын
Очень красивое, простое и изящное решение. Спасибо.
@user-mg9fq2mt8g
Жыл бұрын
Очень здорово и просто! Спасибо!
@theMerzavets
Жыл бұрын
Ещё одно изящное и вменяемое решение (наряду с достраиванием до параллелограмма). Ваше даже, пожалуй, изящнее. Обидно, что я такое построение тоже делал, но доказать параллельность ВЕ и МК не смог (про среднюю линию треугольника забыл напрочь). Решил по-своему, длинным путём, вспоминая теорему Фалеса и т.п. Спасибо за ваше решение!
@mistertwister1015
Жыл бұрын
Отложить влево от А отрезок АО равный DC(AB), получаем треугольник ВСО со средней линией МК. Треугольник ВАО равнобедренный, дальше по углам элементарно)
@user-lq2hv4db4r
Жыл бұрын
Действительно, Мистер Твистер, бывший министр, Ваше решение много проще! Однако, согласитесь, что и приведенное в видео решение очень интересно. Вам тоже большое спасибо за предоставленную идею для решения данной задачи, Вам тоже -большой "лайк"!
@bimbom1982
Жыл бұрын
Точно так же начал решать, как Вы. Отложил отрезок, получил равнобедренный треугольник, нашел углы и... затупил. Я даже увидел, что МК - средняя линия получившегося треугольника и отбросил решение потому что (можете смеяться) не смог себе это доказать 😞
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
@@user-lq2hv4db4r Спасибо. У меня авторское решение сочинителя задачи.
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
@@bimbom1982 Спасибо. Бывает.
@user-co6vp3fg9z
Жыл бұрын
Изящное решение! Спасибо
@user-ih2ev9dn9o
3 ай бұрын
Спасибо за интересную задачу. Решил быстро. Тоже прокрутилась идея как-то сблизить оранжевые отрезки АВ и DC. Поэтому построил параллелограмм: через точку с провёл равный и параллельный отрезку АВ. В конце тоже появилась средняя линия, соответственные углы. Ответ: 53. У вас красивое решение
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Супер!Спасибо.
@user-dv5ox6os5p
Жыл бұрын
Спасибо Вам за красоту изящность, простоту и за хороший вкус. Вы нас радуете. Желаю Вам больших успехов.
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо. И я вам.
@olyakush
Жыл бұрын
Когда-то давно я любила всякие психологические практикумы, и эти задачи в некотором роде возрождение прошлого! Мне нравится! Спасибо!
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Да, да, да. Так я и задумывал. Как хорошо вы все чувствуете.
@think_logically_
20 күн бұрын
Через точку проводим отрезок BL параллельно МК.(L лежит на продолжении AC). По теореме Фалеса KL=KC, откуда ввиду АK=DK получаем AL=CD. Но CD=AB, следовательно AL = AB, △ABL равнобедренный, так что ∠ALB = ∠ABL = 106°/2 = 53°. Далее ∠MKC = ∠ALB = 53°, как соответственные при параллельных MK и BL.
@AlexeyEvpalov
3 ай бұрын
Отложив отрезок DC слево от точки А, получим треугольник D1BC, вдвое больший KMC, так как каждая сторона в вдвое больше. Треугольник BAD1 равнобедренный (BA=AD1), угол при основании D1=106°/2=53° (106° внешний угол при вершине), из подобия треугольников D1BC и KMC, угол D1=K=53°.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Спасибо.
@user-dy4kj3vc2i
Жыл бұрын
Достроить треугольник АВС до паралелограмма АВЕС, соеденить точки А, К, Д с симетричными на противоположной стороне паралелограмма, откуда из паралельности сторон АД', КК', ДЕ и равенства треугольников АВД' и ДЕС видим, что угол МКС=53°
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо. Отлично. Правда, задача предлагалась в 7 классе, где нет параллелограммов. А так - да!
@Greekmagican
3 ай бұрын
Почти, почти допетрил сам! 😂 Спасибо, Валерий, очень интересно!
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Отлично!
@user-zn3tc3kp3h
9 ай бұрын
Отличное решение! Просто и красиво....
@GeometriaValeriyKazakov
9 ай бұрын
Спасибо.
@user-zh8pi6ow7g
Жыл бұрын
я мысленно уменьшил отрезки АК и ДК до минимума = 0 , так чтобы соотношения углов сохранились исходные значения и получилось что А=К=Д слилось в одну точку , а КМ стало бисектрисой в равнобедренном треугольнике АВС которая разделила 106 пополам .
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо. Согласен со Strannikom полностью.
@user-co6vp3fg9z
Жыл бұрын
изящный способ, но это уже пределы ... т.е. институт.
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
@@user-co6vp3fg9z Спасибо.
@igorkryuchkovskiy4881
Жыл бұрын
Смотрел одно из Ваших видео и применил способ из него. AK=KD=0, в этом случае МК биссектриса и ответ
@theMerzavets
Жыл бұрын
да, но для строгости решения нужно доказать, что при изменении длин АК и KD отрезок МК продолжает быть параллельным биссектрисе.
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо. Вот это задорово. Извините за поздний ответ.
@maxb5882
Жыл бұрын
Я достроил треугольник до параллелограмма ABXD, где X это четвертый его угол и на стороне BX, отложил отрезок BX1, равный DC, и через параллельность KM и AX1 получил, что угол X1AC - это угол при одной из диагоналей ромба, со сторонами равными AB, а это половина угла BAC, т.е. 106 градусов пополам = 53 градуса.
@theMerzavets
Жыл бұрын
Да, ваше решение гораздо изящнее! Чего только я не достраивал -- но до параллелограмма мозгов не хватило. А ведь сразу всё становится ясно, понятно и доказательно. Замечательно, спасибо! Я решал по-своему, проводя отрезки, параллельные КМ, вспоминал теорему Фалеса и т.п. Гораздо более громоздкий способ, но ИМХО более понятный, чем решение Валерия.
@user-is8pj2rt8q
4 ай бұрын
Ещё: Вокруг точки М повернуть треугольник МКС на 180 град. Отрезок КМК' можно сдвинуть на вектор КА = K'D' до совпадения с АD'. В равнобедренном треугольнике ABD', он же AC'D', он же K''CK' и пр. -- можно найти углы при основании -- в конечном счёте делением угла ВАС. Я вижу подобные варианты -- построить параллелограмм.
@GeometriaValeriyKazakov
4 ай бұрын
Супер!
@AVNovikov
5 ай бұрын
Еще способ. Через точки А и Д проводим параллели КМ. Получаем точки F и O на ВС. Так как AF, МК и DO параллельны и АК=КD, то FM=MO. Тогда BF=OC. Берем треугольник DOC и переворачиваем к BF так, чтобы BF и СO наложились. AF и OD параллельны, значит AFD' будет прямой. AB=DC, значит AB=BD' и тругольник ABD' равнобедренный. Углы равны при основании и равны (180-74).2=53. (Угол ABD' = ABC+ACB =180-106=74. )
@GeometriaValeriyKazakov
5 ай бұрын
Отлично. Спасибо, что смотрите нас.
@user-ig8de5jf6h
Жыл бұрын
Мне кажется самым простым решением Достроить сверху такую же конструкцию, только перевернутую, обозначим верхнюю точку О, и отрезок ОК1=АК=АD Тогда ВС будет доагональю параллелограмма DCO равнобедренный А отрезок КK1 параллелен ей, т.к. мы к равным сторонам прибавили равные отрезки Ну и осталось просто посчитать
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Отлично.
@lyuba5365
Жыл бұрын
Слелала несколько чертежей (изучала условие задачи, экспериментировала), увеличивая и увеличивая длину отрезков АК и КД. И что же я заметила? Ооо!!! Величина угла МКС одна и таже! Значит задача имеет единственный ответ. Потом неудержалась и начала читать коментарии. Здорово МК превратить в среднюю линию в достроеном треугольнике. Браво! Теперь посмотрю, что предлагает автор. 🤔 Успехов ВАМ всем. Спасибо. 😊
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо за любознательность.
@lyuba5365
Жыл бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Вам большое спасибо за кропотливую работу.
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
@@lyuba5365 И вам спасибо. Я просто так "кайфую"!
@lyuba5365
Жыл бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov 👍👏
@voldemarvoldemar4800
Жыл бұрын
Довольно сложно. Мне кажется гораздо проще провести из точки В линию параллельную КМ до пересечения с АС (т. Е). Слева получится равнобедренный треугольник (АЕ=АВ, по свойству средней линии МК тр. ЕВС). У основания ЕВ два равных угла, сумма которых очевидно 106°. Отсюда уг.МКС=уг.ВЕС=53°. По сути решение "в уме".
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо. Мне как раз кажется наоборот: выход за пределы чертежа для 7-классника - довольно дерзкое мероприятие. А работа внутри треугольника - привычно. Хотя решение с параллельной очень хорошее.
@eduardtovmasyan283
Жыл бұрын
СПАСИБО!!!
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
И вам спасибо за просмотр!
@user-ye3fq6tj2h
Жыл бұрын
Рассмотрим частный случай этой задачи, AK=0=KD, тогда A, K и D совпадут и ABC будет равнобедренным, а MK окажется медианой и биссектрисой, а значит угол MKC половина угла ВАС
@theMerzavets
Жыл бұрын
а как вы его на общность распространите? Почему вы уверены, что при изменении длин отрезков АК и КД линия, параллельная биссектрисе, будет делить сторону ВС пополам? Это нужно доказать.
@user-ye3fq6tj2h
Жыл бұрын
@@theMerzavets уверен, потому что иначе не было бы задачи такой
@edba7410
Жыл бұрын
Достроил до параллелограмма. Обозначим четвёртую вершину через Е. Проведём отрезок DE. Он получается параллельным КМ. Треугольник DEC равнобедренный. Угол DCE равен 74м градусам. (180-74)/2=53. А так как угол EDC равен MKC, то и MKC тоже 53 градуса.
@user-ky2xi4xg7y
Жыл бұрын
Я тоже так решил, даже не знаю, чье решение должно понравиться больше олимпиадной комиссии - длинное и хитроумное или простое и гениальное
@salavatishikaev3104
Жыл бұрын
Сделал так же. Потому что это кажется наиболее естественным: улучшить симметрию чертежа. И такое дополнительное построение напрашивается само собой. И тут же сразу хватаешься за нарисовавшийся равнобедренный треугольник...
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Ребята, у вас решения классные. Но задача для 7 класса и там нет параллелограммов. Нужно решать минимумом.
@efimmuratov6613
Жыл бұрын
Это ещё и 4хугольник ABCD (который вмещает в свою очередь 4хугольники KABM + MCDK по 360 каждый), у которого в данный момент угол ADC развёрнутый - криво стоит. А когда стоит ровно, то AKM = KMB = DKM = KMC = 90 градусам. Ну и отсюда смотрим как углы меняются при данном отклонении от прямых углов.
@sdf0as9f0a9sda0s
Жыл бұрын
35 лет весной будет как закончил школу.... совсем забыл про свойство средней линии треугольника )))
@user-uo6gq2us9n
Жыл бұрын
Коментарът е подробен и изчерпателен!
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо. Набираю комментарии.
@user-xr8bc7yw2u
Жыл бұрын
Супер
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо.
@coda6702
9 ай бұрын
Переместим dc отрезок в точку а, получили треугольник baf . Тогда получим треугольник подобный ckm. Af = dc = ab, угол bfa = (180-(180-106))/ = 53. Угол mkc и bfa равны (треуг подобны) угол mkc = 53
@GeometriaValeriyKazakov
9 ай бұрын
Отлично!
@smirnov-49
Жыл бұрын
Построим дополнительную фигуру, приняв точку М за центр симметрии...
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Да, симмметрия - это круто. Сверху также решили поворотом
@theMerzavets
Жыл бұрын
Два дня сидел. Два дня! Ещё не смотрел решение. Напишу своё. -- из точек А и D строим отрезки, параллельные КМ, до пересечения со стороной ВС. Точки пересечения обозначим Р1 и Р2, получая отрезки АР1 и DP2; -- МР1 == МР2 (теорема Фалеса); -- так как ВМ == МС, то и ВР1 == МР2; -- следовательно, независимо от длины отрезков AK и AD, отрезок КМ будет всегда параллелен отрезку АР1, построенному в первом пункте; -- приравняем AK и AD к нулю. Получаем равнобедренный треугольник АВС, где АВ == АС, а отрезок КМ -- его медиана. В равнобедренном треугольнике медиана является и биссектрисой угла ∠ВАС; -- таким образом, получаем ответ: ∠МКD == 106°/2 == 53° Надеюсь, понятно написал. Теперь посмотрю, как решает Валерий 🙂
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
ВЫ меня поразили! Именно так и нужно решать. Иначе не научишься. Типичный олимпиадный прием - сближегние отрезков. Но все просто когда занешь решение. Извините за поздний ответ.
@theMerzavets
Жыл бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov спасибо Вам, Валерий! За оценку, но самое главное -- за то, что вы очень методично и регулярно заставляете своих зрителей разгонять кровь по капиллярам серого вещества 🙂 И честно сказать -- я не поспеваю за Вами, и это очень хорошо! Больше задач -- интересных и необычных! Спасибо за Ваш труд!
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Напишите, смотрите ли вы наш канал. Меня до сихз пор паражает ваше правильное упорство!!!
@theMerzavets
Жыл бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov конечно, смотрю. Положа руку на сердце -- не успеваю за вашей продуктивностью! Но зато всегда знаю, что в выходные у меня будет, чем поразмять мозги 🙂 Спасибо вам, Валерий!
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
@@theMerzavets Спасибо. Я делаю ролики через день, когда набор по предыдущему замирает. Такое вот хобби нашел себе.
@user-bq7wg4qz5d
Жыл бұрын
Была на курсах, Валерийя Казакова понравились лекции!
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо!
@puteshestwennik
Жыл бұрын
А в 7 классе не догадается никто перенести отрезки ав и dc на одинаковое расстояние по одной прямой в точку к?очевидно,что заданный угол в 106 градусов сохраняется;два остальных угла нового равнобедренного треугольника bkc равны (180-106)/2=37градусов,а медиана на основание равнобедренного тр-ка есть также высота,т.е.искомый угол равен 90-37=53 градуса
@theMerzavets
Жыл бұрын
Всё почти верно, но в вашем решении не хватает одного важного пункта -- доказать, что "новый" треугольник именно равнобедренный. Это нетрудно, но обязательно для обоснования решения. Ну, и арифметики чуть меньше: медиана равнобедренного треугольника является биссектрисой угла при вершине, т.е. 106°/2 == 53°
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Олимпиадников так и учат в 7 классе: если равные отрезки разнесены их нужно сблизить (обычно через средние линии)
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
@@theMerzavets Я черным по белому как раз и доказываю, что он равнобедренный. Это же очень известное свойство: биссектриса отсекает от двух параллельных равнобедренный.
@theMerzavets
Жыл бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov вы-то доказываете, а вот putechestvennik -- нет 🙂
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
@@theMerzavets 10 м 20 с.
@user-wu6jj5no7k
2 ай бұрын
Как могу скачу интереснъ задачках
@user-sm2fk8xn4c
Жыл бұрын
Все решается проще
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Вы прям, как Ферма, который нашел "поистине удивительное доказательство своей теоремы".
@user-qq6dc3hl8i
Жыл бұрын
Супер!
@sergeypolyakov9312
Жыл бұрын
Если решение существует и не зависит от длин, отмеченных отрезков, тогда при AK=0, ответ очевиден и равен 106/2=53
@theMerzavets
Жыл бұрын
А если зависит? "Очевидно" -- это не математика 🙂 В моём вузе после слова "очевидно" экзаменатор по матану без лишних слов брал зачётку и вписывал туда "неуд".
@sergeypolyakov9312
Жыл бұрын
@@theMerzavets 1) В условии не даны длины. 2) Я привёл частное решение, которое легко проверяется. 3) Уметь быстро проверить частное решение, помогает найти ошибки в более сложных решениях. 4) В моём вузе за это хвалили, а не ругали.
@Andrej_rybak
Жыл бұрын
Благодарю.
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
И вам спасибо.
@Kalifriki
Жыл бұрын
как найти точку F?
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
7.40 я говорю, что F - середина ВD
@elenasavenkova8410
Жыл бұрын
37градусов
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо, что смотрите нас.
@user-yu7bo3vp8h
Жыл бұрын
Задача походу выдумана под теорему Фалеса
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Спасибо. Она выдумана под две средних линии.
@user-yu7bo3vp8h
Жыл бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Можно дорисовать АС(1), равную по длинне DC, и получится что ВС(1) паралельно МК, Тр-ик АВС(1) равнобедреный следовательно угол АС(1)В= МКС = 106/2
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
@@user-yu7bo3vp8h Спасибо. Да, это интересная идея решения.
@GeometriaValeriyKazakov
Жыл бұрын
Кстати ниже Mister Twister похожую идею изложил.
@sergeykitov2760
3 ай бұрын
Сложное и некрасивое решение: проведём через K прямую параллельную AB, она пересекает BC в точке L. Выражаем KL и ML через длины AB, BM и AK (из подобия треугольников ABC и KLC. Далее видим, что выполнено свойство биссектрисы.
@GeometriaValeriyKazakov
3 ай бұрын
Отлично!
@Elena_Avonavi
Жыл бұрын
Я, видимо, чуть перемудрила: повернула треугольник КМС относительно М, совместив МС с МВ, и получила трапецию АКК1В с основаниями АК и ВК1 (параллельность оснований следует из равенства накрест лежащих углов МКС и МК1В - собственно это один и тот же угол). Точка Д перешла в Д1. АД1 - биссектриса угла ВАС (из равенства отрезков Д1В и АВ, лежащих на параллельных сторонах). Угол Д1АС равен углу МКС (АК и К1Д параллельны и равны), то есть 53 градусам.
Пікірлер: 113