Lei ha una pagina stupenda! interessante, approfondita, varia...
@GaetanoDiCaprio
10 ай бұрын
Grazie mille!
@user-lb8rz5wr3x
10 ай бұрын
Evviva! Ho ottenuto 210 cm applicando il Teorema di Pitagora proprio in quel modo. Prima di cliccare su "play" avevo quasi la mano che mi tremava 🤣🤣
@domenicobianchi8
10 ай бұрын
bel problema. molto apprezzato il fatto di risolverlo in più modi!
@GaetanoDiCaprio
10 ай бұрын
Grazie
@robertodemarchi30761
10 ай бұрын
Eccellente comparazione fra metodologie risolutive diverse, Professore!
@GaetanoDiCaprio
10 ай бұрын
Grazie!
@wizardvirgilio
10 ай бұрын
La potenza del calcolo differenziale e integrale risiede nella propria capacità di astrazione, poiché simbolico.
@user-er1xu1eg9v
9 ай бұрын
Salve Professore..Ho una domanda. Ha mai pensato di utilizzare le Sue conoscenze in ambito matematico/statistico per creare algoritmi o formule per la previsione statistica dell'estrazione dei numeri del lotto? Potrebbe se ha tempo e modo fare alcuni esempi in questo canale ? Grazie.
@GaetanoDiCaprio
9 ай бұрын
Non esiste alcuna "previsione statistica" riguardo all'estrazione dei numeri del lotto, tantomeno algoritmi. Esiste soltanto la probabilità di estrarre un numero che è sempre la stessa. L'estrazione non ha alcuna memoria.
@vincenzogiordano4019
10 ай бұрын
Ciao. Scusa, Perchè calcolo la lunghezza mediante l'integrale del modulo delle derivate?
@GaetanoDiCaprio
10 ай бұрын
È proprio la definizione di lunghezza di una curva. Intuitivamente è come se dividessi la curva in tratti infinitesimi e calcolassi la lunghezza di ciascun tratto moltiplicando il modulo della velocità per l'intervallo di tempo infinitesimo
@ValerioPattaro
10 ай бұрын
Ma sai che volevo farlo io 😢😅
@GaetanoDiCaprio
10 ай бұрын
Ma daiiii
@lupoalberto1259
10 ай бұрын
Immaginando di svolgere la superficie del cilindro dal punto di partenza,fino al primo giro,si ottiene un triangolo rettangolo che ha come base la circonferenza (C) e come altezza 1/7 dell' altezza (H) del cilindro. Al secondo giro il triangolo avrà la base = 2C e altezza = (2/7)H Proseguendo a srotolare la superficie,si otterrà un triangolo con base = 7C e altezza = H,la cui ipotenusa è la lunghezza (L) cercata. L = √(49C² + H²) = √ (28224 + 15876) = 210
@GaetanoDiCaprio
10 ай бұрын
Benissimo! Adesso se guardi il video troverai anche un altro procedimento
@lupoalberto1259
10 ай бұрын
@@GaetanoDiCaprio È da notare che "n" nella formula ottenuta con l'integrale, può assumere anche valori non interi,adattandosi ai casi nei quali il punto di partenza e quello di arrivo non siano sulla stessa verticale ☺️☺️
@GaetanoDiCaprio
10 ай бұрын
@@lupoalberto1259 certo!
@mathechne
10 ай бұрын
ottimo, senza integrali
@andreapedron568
10 ай бұрын
Problema divertente. Si può anche pensare di sfogliare 7 volte la superficie del cilindro ottenendo un rettangolo con base pari a 7 volte la lunghezza della circonferenza e altezza pari all'altezza del cilindro, in questo modo lo sviluppo del filo potrà essere disposto lungo la diagonale del rettangolo. Questo consente di analizzare il caso di filo avvolto con passo non uniforme proposto da brunobettini4915. In caso di passo non uniforme lo sviluppo del filo seguirà una curva all'interno del rettangolo che congiunge due vertici opposti. È immediato osservare che la lunghezza minima del filo dovrà essere quella calcolata per il caso del passo uniforme, in quanto questo procede in linea retta tra i due vertici (il problema potrebbe anche essere risolto con metodi variazionali sull'integrale di radq(r^2+z'(t)^2) in funzione della posizione angolare t tra t=0 e t=2*pi*n, che porta all'equazione 2z'(t)z''(t)=(z'(t)^2)'=0, da cui z'(t)=a e z(t)=at+b per cui l'altezza cresce proporzionalmente alla posizione angolare). Per quanto riguarda la ricerca della lunghezza massima, ha senso limitare la ricerca solamente al caso in cui la curva sviluppata vada da vertice a vertice in modo monotono, che significa che ruotando lungo il cilindro il filo avanza lungo il cilindro sempre nella stessa direzione, senza mai ritornare indietro (diversamente il massimo non esiste). In questo caso la lunghezza massima si ottiene per un qualsiasi percorso che sviluppato passi da un vertice all'altro del rettangolo in modo scalettato, con una successione di tratti orizzontali e di tratti verticali, ossia che il filo sia avvolto percorrendo archi di circonferenza e tratti paralleli all'asse del cilindro, e dunque la lungnezza massima sarà pari a n*C+h=7x24+126=294. Infatti se x(t) e y(t) sono le equazioni parametriche della curva sviluppata dentro il rettangolo e parametrizzata nella variabile t scalata in modo che t=0 e t=1 corrispondano ai punti iniziali e finali sui due vertici opposti, la lunghezza sarà data da int{radq(x'(t)^2+y'(t)^2)dt} da t=0 a t=1 dove int{... dt} integrale in t, che sarà sempre minore di int{(|x'(t)|+|y'(t)|)dt} e poiché per l'ipotesi di monotonia si potrà sempre scegliere la parametrizzazione in modo che risulti x(t) > 0 e y(t) > 0, la lunghezza sarà sempre minore di int{x'(t)dt} + int{y'(t)dt} = int{dx} + int{dy} = nC + h che è appunto la lunghezza del percorso "scalettato" e che risulta dunque maggiore della lunghezza di qualsiasi altro percorso che si avvolga con un'elica anche non uniforme ma che comunque avanzi sulla superfice del cilindro sempre lungo la stessa direzione rispetto all'asse.
@GaetanoDiCaprio
10 ай бұрын
Grazie dell'interessante approfondimento! C'è qualcosa però nella tua dimostrazione del massimo che non mi convince.... Il ragionamento funziona bene se immagini i percorsi a scaletta fatti di un numero finito di tratti, ma se si considerano percorsi con un numero infinito di tratti, magari di natura frattale, non sono sicuro che la lunghezza massima sia quella che hai indicato o che sia effettivamente finita... È solo una sensazione...
@andreapedron568
10 ай бұрын
A curve frattali non avevo proprio pensato. Avevo cercato di escludere le curve di lunghezza infinita imponendo che l'avvolgimento progredisse con monotonicitá lungo la direzione dell'asse del cilindro, evitando che andasse su e giù tra le basi del cilindro, altrimenti si potrebbero effettivamente avere avvolgimenti di lunghezza infinita anche con numero di giri finito e come dicevo in questo caso non vi sarebbe massimo. Questo però in effetti non basta perché si potrebbero comunque disegnare sulla superficie del cilindro curve di lunghezza infinita che vanno avanti e indietro lungo la posizione angolare, invertendo continuamente la direzione e senza mai compiere nemmeno un giro, dunque di fatto non avvolgendosi, e comunque di lungheza infinita. Ad esempio se disegnamo all'interno di un rettangolo di altezza h e base C=2*pi*r il seno del topologo x=pi*r*sin(h/y), con x nella direzione della base e y nella direzione dell'altezza e lo avvolgiamo attorno alla direzione dell'altezza otteniamo una curva di lunghezza infinita che non fa alcun giro. Per evitare questa situazione è necessario richiedere non solo la monotonicitá lungo la direzione dell'asse ma anche la monotonicitá della posizione angolare, ossia dette X(t), Y(t), Z(t) le equazioni del filo avvolto è necessario richiedere la monotonicitá di Z(t) ma anche di arg_c[X(t), Y(t)] dove arg_c[., .] è l'argomento continuo o unwrapped, ossia reso continuo aggiungendo multipli di 2*pi ai passaggi per lo 0 dell'argomento arg[., .] definito tra 0 e 2*pi. Per quanto riguarda invece l'uso di funzioni scalettate, ossia costanti a tratti, quando il numero dei tratti tende all'infinito, per non lasciare spazio a possibili dubbi, val la pena di precisare quanto segue. Ogni curva sufficentemente regolare potrebbe essere approssimata con una successione di curve scalettate al crescere del numero dei gradini, questo potrebbe portare alla paradossale conclusione che la lunghezza della curva limite approssimata dalla successione delle curve scalettate sia pari alla lunghezza delle curve scalettate che è la sressa per tutte, nel nostro caso nC+h. Questo è ovviamente falso. In generale va tenuto presente che se una successione di oggetti matematici Si (punti di uno spazio topologico), nel nostro caso la successione di curve scalettate, tende ad un oggetto limite S (punto di accumulazione per gli Si), nel nostro caso la curva limite che stiamo approssimando, allora non è detto che una qualche proprietà degli oggetti Si, nel nostro caso la lunghezza della curve scalettate, tenda all'analoga proprietà dell'oggetto limite S, nel nostro caso la lunghezza della curva limite. Più precisamente se la proprietà è espressa mediante un qualche operatore O sugli Si, allora lim O{Si} è in generale diverso da O{S}=O{lim Si}, non si può scambiare il limite con l'operatore. Nel caso della lunghezza di una curva la lunghezza della curva limite non è detto che coincida con il limite delle lunghezze delle curve approssimanti, questo perche non si può, in generale, scambiare il limite con l'operatore d'integrazione che fornisce la lunghezza (mi sembra che si possa portare il limite sotto il segno d'integrale solo nel caso in cui l'integrando sia continuo, ma nel nostro caso le funzioni sono costanti a tratti e dunque evidentemente discontinue).
@brunobettini4915
10 ай бұрын
Andrebbe precisato all'inizio che il passo dell'avvolgimento è costante.
@GaetanoDiCaprio
10 ай бұрын
Grazie del commento! Ha assolutamente ragione, è un'informazione che viene sottintesa ma che non è affatto scontata. Ottima osservazione!
@brunobettini4915
10 ай бұрын
La ringrazio del riscontro. Se accantoniamo l'ipotesi di passo costante ci sono infinite soluzioni e sorge l'interessante quesito su quale sia il filo più lungo che si può avvolgere, al limite. Mi pare che la risposta si possa intuire usando il primo metodo da lei proposto! PS tanti complimenti per il suo lavoro.
@andreapedron568
10 ай бұрын
Buona osservazione, prova a vedere se il commento che ho lasciato soddisfa la tua domanda sulla massima e minima lunghezza possibili in caso di avvolgimento a passo non uniforme.
@brunobettini4915
10 ай бұрын
@@andreapedron568sì, era proprio ciò che intendevo
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