CURVA FUNICOLARE DI UN CARICO DISTRIBUITO LINEARE TRIANGOLARE DECRESCENTE
Ciao, benvenuto/a o bentornato/a su StaticaFacile, questa lezione è dedicata alla Curva funicolare di un carico distribuito lineare triangolare decrescente. Praticamente è un esercizio perché gli aspetti teorici relativi all’equazione differenziale della curva funicolare sono stati già trattati nella lezione precedente che troverai qui • Equazione della curva ... L’argomento può esserti utile se studi Ingegneria o Architettura, oppure se sei uno studente CAT (Costruzioni Ambiente e Territorio) alle superiori. Ma veniamo al dunque, l’equazione del carico distribuito uniforme è questa q(x)=-q.x/L+q, l’abbiamo ricavata nella lezione che vi posto qui • Funzioni di Carichi Di... L’equazione differenziale generale della curva funicolare è f’’(x)=-q(x)/H. Detto a parole la derivata seconda rispetto a x della funzione funicolare f(x) è pari al rapporto col segno meno tra la funzione di carico q(x) e la distanza polare H. Il primo passo da fare è scrivere l’equazione differenziale di f(x) per il carico q(x)=-q.x/L+q, quindi l’espressione dell’equazione si scriverà così f’’(x)=(q/H).((x/L)-1). Da qui eseguiamo la prima integrazione ottenendo la derivata prima di f(x), f’(x)= (q/H).INTEGRALE[((x/L)-1)dx]. Passiamo quindi alla seconda integrazione ottenendo f(x)=INTEGRALE[INTEGRALE[((x/L)-1)dx]]dx. Da qui si applicano le regole degli integrali definiti pervenendo all’espressione di f(x) in funzione delle costanti di integrazione C1 e C2. L’espressione è la seguente f(x)=(q/H)[(x^3)/(6.L)-(x^2/2)+C1.x+C2]. Non resta quindi che calcolare le costanti d’integrazione C1 e C2. Per farlo imponiamo che la funzione funicolare f(x) valga zero in x=0 e in x=L dove L è l’estensione del carico distribuito uniforme. Se in x=0 abbiamo f(0)=0 si verificherà che C2=0. Analogamente ponendo f(L)=0 avremo C1=L/3. Il che ci permette di concludere che l’equazione della funicolare del carico distribuito lineare triangolare crescente è f(x)=(q/H)[(x^3)/6L-x^2/2+L.x/3]. Il che ci porta a concludere che la funzione è del terzo ordine. E’ ora opportuno fare una importante considerazione. Se poniamo la distanza polare H pari a 1 l’equazione funicolare sarà f(x)=q.[(x^3)/6L-x^2/2+L.x/3]. In più, ci interessa l’ascissa alla quale la funzione esprime il suo valore massimo. Come sapete dall’analisi matematica un punto di massimo può esistere dove la derivata della funzione è nulla. Il che ci porta all’espressione della prima derivata e al suo annullamento. L’espressione della derivata prima di f(x) è f’(x)=q.(x^2/2L-x+L/3). Ponendola uguale a zero avremo q.(x^2/2L-x+L/3)=0 da cui x=L(1-1/3^0,5). Quindi in corrispondenza di x=L(1-1/3^0,5) avremo il massimo valore di f(x). Passando al calcolo avremo fmax=(q.L^2)/9.3^0,5. Però adesso è meglio che tu segua la videolezione, vedrai che ti sarà utile. Buon studio.
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