Funicolare di un carico distribuito trapezio
Ciao, benvenuto/a o bentornato/a su StaticaFacile, questa lezione è dedicata alla Funicolare di un carico lineare trapezio. Praticamente è un esercizio. Gli aspetti teorici relativi all’equazione differenziale della curva funicolare sono stati già trattati nella lezione precedente che troverai qui • Equazione della curva ... L’argomento può esserti utile se studi Ingegneria o Architettura, oppure se sei uno studente CAT (Costruzioni Ambiente e Territorio) alle superiori. Ma veniamo al dunque, l’equazione del carico distribuito lineare di forma trapezia (crescente) è questa q(x)=(q2-q1).x/L+q1. L’abbiamo ricavata nella lezione che vi posto qui • Funzioni di Carichi Di... L’equazione differenziale generale della curva funicolare è f’’(x)=-q(x)/H. Detto a parole la derivata seconda rispetto a x della funzione funicolare f(x) è pari al rapporto col segno meno tra la funzione di carico q(x) e la distanza polare H. Il primo passo da fare è scrivere l’equazione differenziale di f(x) per il carico q(x)=(q2-q1).x/L+q1, quindi l’equazione differenziale si scriverà così f’’(x)=[(q1-q2).x /HL)]-q1/H. Da qui eseguiamo la prima integrazione ottenendo la derivata prima di f(x), f’(x)= INTEGRALE[[(q1-q2).x /HL)]-q1/H]dx]. Passiamo quindi alla seconda integrazione ottenendo f(x)=INTEGRALE[INTEGRALE[[(q1-q2).x /HL)]-q1/H]dx]]dx. Da qui si applicano le regole degli integrali indefiniti pervenendo all’espressione di f(x) in funzione delle costanti di integrazione C1 e C2. L’espressione è la seguente f(x)=(q1-q2)x^3)/6HL-q1x^2/2H+C1.x+C2. Non resta che calcolare le costanti d’integrazione C1 e C2. Per farlo imponiamo che la funzione funicolare f(x) valga zero in x=0 e in x=L dove L è l’estensione del carico distribuito uniforme. Se in x=0 abbiamo f(0)=0 si verificherà che C2=0. Analogamente ponendo f(L)=0 avremo C1=L(q2+2q1)/6H. Il che ci permette di concludere che l’equazione della funicolare del carico distribuito lineare triangolare crescente è f(x)=[(q1-q2)x^3]/6HL-(q1x^2)/6H+L(q2+2q1)x/6H. Osserviamo che la funzione è del terzo ordine. E’ ora opportuno fare una importante considerazione. Se poniamo la distanza polare H pari a 1 l’equazione funicolare sarà f(x)=[(q1-q2)x^3]/6L-(q1x^2)/6+L(q2+2q1)x/6. In più, ci interessa l’ascissa Xb alla quale la funzione esprime il suo valore massimo f(Xb)=fmax. Come sapete dall’analisi matematica un punto di massimo può esistere dove la derivata della funzione è nulla. Il che ci porta all’espressione della prima derivata e al suo annullamento. Ne scaturisce un’equazione di secondo grado che, risolta, ci fornirà l’espressione di Xb. Inserendo Xb nella funzione della funicolare otterremo il valore massimo f(Xb)=fmax. Però adesso è meglio che tu segua la videolezione, vedrai che ti sarà utile. Buon studio.
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