KZ
item
Негізгі бет
Трендинг
Журнал
Ұнаған бейнелер
Ең жақсы KZitem
Фильм және анимация
Автокөліктер мен көлік құралдары
Музыка
Үй жануарлары мен аңдар
Спорт
Ойындар
Комедия
Ойын-сауық
Тәжірибелік нұсқаулар және стиль
Ғылым және технология
Кіру
Тіркелу
Кіру
Тіркелу
Негізгі бет
Трендинг
Журнал
Ұнаған бейнелер
Ең жақсы KZitem
Фильм және анимация
Автокөліктер мен көлік құралдары
Музыка
Үй жануарлары мен аңдар
Спорт
Ойындар
Комедия
Ойын-сауық
Тәжірибелік нұсқаулар және стиль
Ғылым және технология
Негізгі бет
【京大2007】数列が有限値に収束する条件は?【数列・極限】
Күн бұрын
【京大2007】数列が有限値に収束する条件は?【数列・極限】
Рет қаралды
8,653
最難関の数学 by 林俊介
1
1
Жүктеу
Пікірлер: 40
@884
3 жыл бұрын
みなさん,こんばんは!今回は,2007年の京大理系数学より,数列の極限に関する問題をピックアップ。 互いに異なる正実数 x, y を含む漸化式により定義された数列があり,その極限が有限値に収束するような x, y の範囲を図示します。 文字を含んでいることもあり,一見面倒な形をした漸化式ですが,よく見るとそこまで苦労せずに解くことができます。 まずは一般項を計算してみましょう。 その後,x, y の値によって場合分けし,n → ∞ での極限を求めます。
@vbj9271
3 жыл бұрын
積分サークルのたっつーさんが作った問題: An+1 = s | An - s | - t , A1 = t 数列Anが発散するためのs、tの条件をst平面上に図示せよ と若干ですが、似てますね
@study_math
3 жыл бұрын
与式をxⁿ⁺¹で割る方法でした。 aₙ₊₁/xⁿ⁺¹=aₙ/xⁿ+(y/x)ⁿ⁺¹=Σ[k=2,n+1](y/x)ᵏ⁺¹ (kは2からに注意) 単なる等比数列なので計算が楽でした。 理系だし、1問目じゃないし一見難しそうな問題に見えましたが、意外に簡単でした。 実際に解けた学生も多かったんじゃないかな?
@884
3 жыл бұрын
そうか,x^(n+1) で割り算すればいいんですね! 気づきませんでした。
@ほう砲
2 жыл бұрын
極限の問題で基本的な変形である「最強の項で括る」を忘れなければ、やるべきことをやっているうちに完答できる問題ですね
@cynthia4602
3 жыл бұрын
自分は最初x^(n+1)で割る方法でしたが、y^(n+1)で割っても出来るのですね。 ところで、x=yのときもそんなに難しくと思うので、 問題をわざわざx,yを「相異なる」としなくてもよいのでは?と思いました。 場合分けを少なくするやさしさなのか、領域の図示に注意を要する厳しさなのか どっちなんでしょうね・・・
@haruharu949
3 жыл бұрын
x=yのときも0
@川野寛-j5b
5 ай бұрын
もはや芸術的解説。
@しりゅう-n2r
3 жыл бұрын
一般項求めた時点で、anの中身、つまりyとxは考えると2つ共、等比数列になっているから教科書通りに1より大きいか小さいかはたまた1の時など場合分けすることは分かりますね
@884
3 жыл бұрын
そうですね! 丁寧な論証は必要ですが,そのように式の形をもとにして場合分けの方針を立てる力も,入試では大切です。
@pacho731
3 жыл бұрын
このch見ていると20分でも「少ないなぁ」という狂った感覚になりそうです。
@884
3 жыл бұрын
最近長すぎる動画が多かったので,ちょっと反省して今後は少しずつ短くしていきます!
@pacho731
3 жыл бұрын
@@884 個人的に40分はちょっと抵抗があるので20分くらいだと嬉しいです。
@884
3 жыл бұрын
コメントありがとうございます。 今後の動画作りの参考にします。
@n.r.3569
3 жыл бұрын
x=yのときはan=(n−1)x^nの形が出てきて、x≧1では発散になるんですが、0<x<1のとに指数と一次式のどちらが勝つのかを評価しないといけないんで結構めんどいっすね
@884
3 жыл бұрын
自分でも確認しましたが,確かに a[n] = (n-1)x^n となりますね。 おっしゃる通り,n と冪乗の強さの比較をすることになります。 二項定理を用いるなどして,x^n を多項式で評価する必要がありますね。
@日沐猴冠
3 жыл бұрын
変数による挙動の変化を場合分けするのはやはり大事。
@user-ih7lp1mc1f
3 жыл бұрын
お疲れ様です。
@884
3 жыл бұрын
ありがとうございます!
@sorqn4944
3 жыл бұрын
19:20同じこと2回言ってますか?それとも編集ミスですかね?
@884
3 жыл бұрын
あ,ほんとですね!カット漏れです。 後日修正します。ありがとうございます!
@haruharu949
3 жыл бұрын
サムネチャレンジ (解) 与式 ⇔ a_(n+1)/y^(n+1) = (x/y)*a_n/y^n + 1である。よって、b_n = a_n/y^nと置けば、b_1 = a_1/y = 0であって 与式 ⇔ b_(n+1) = (x/y)*b_n + 1を得る。 このとき、特性方程式はt = (x/y)t + 1 ⇔ (1 - x/y)t = 1 ⇔ t = 1/(1 - x/y)となる(∵ x ≠ y)から、 b_(n+1) - 1/(1-x/y) = (x/y)*{b_n - 1/(1-x/y)}からb_n = {(x/y)^(n-1)}*{b_1 - 1/'1-x/y)} + 1/(1-x/y)より、 ∴a_n = {y/(1-x/y)}*{y^(n-1) - x^(n-1)}となる。 従って、n → ∞のときa_nが有限の値に収束するには、0
@haruharu949
3 жыл бұрын
動画では収束性を結構厳密に場合分けしてやっていますね… 重要な部分は「y^(n-1) - x^(n-1)」で、 x ≠ yからy^(n-1)とx^(n-1)が相殺することはないので、単純に少なくともどちらか一方の項が発散すれば有限の値に収束しないので0
@pona201
3 жыл бұрын
方針自体も立ちやすいのであとは論述と計算の問題なんですかね
@884
3 жыл бұрын
そうですね。 丁寧に場合分けをしたり,極限値がわかりやすいように式変形をしたりするのが大切だと思います!
@ほう砲
2 жыл бұрын
駿台の夏期講習の数三特講にこの問題出てましたねー
@ニコニコ-m9v
2 жыл бұрын
興味本位で閲覧したど文系の数弱ですが、一般項求めたぐらいまでは理解できて面白かったです。
@884
2 жыл бұрын
素晴らしいです!
@麻婆豆腐-l2p
3 жыл бұрын
x^n+1で両辺割れば一発なんですね
@884
3 жыл бұрын
そうなんですよね〜 気づきませんでした💦
@tokumoli314
3 жыл бұрын
直感で答えは分かりますが論証を丁寧にしないとダメな問題ですね
@884
3 жыл бұрын
その通りだと思います。 x = 1 や y = 1 が境目なのはなんとなくわかりますが,その理由をちゃんと示す必要があります。
@すんたん-p2p
3 жыл бұрын
このチャンネルでやるには簡単かもしれませんが... 1983年の東大理系第6問を解説していただけませんか? 中学生の僕には難しいです
@884
3 жыл бұрын
コメントありがとうございます! 今後の動画作りの参考にします。
@pacho731
3 жыл бұрын
やっぱりどんな問題も基本の積み重ねなんですね。
@884
3 жыл бұрын
今回の問題は,漸化式を解いたり場合分けをしたりという基本操作が素直に点に反映されるので,良問だと思います。
@pacho731
3 жыл бұрын
@@884 かなり良い問題ですよね。
@マリル-t5q
9 ай бұрын
できた!
@884
9 ай бұрын
素晴らしいです👍🏻
@dimitrovniko608
2 жыл бұрын
旧課程の数Cの範囲?
Пікірлер: 40